algebra lineal

Escuela Superior Polit´cnica del Litoral
e
Instituto de Ciencias Matem´ticas
a
´
´
SOLUCION y RUBRICA
´
Examen de la Primera Evaluaci´n de Algebra Lineal
o
05 de julio de 2012

R´ brica para todos los temas:
u
Deficiente
Regular
Bueno
Excelente

Vac´ evaluaci´n incompleta o incorrecta del valor de verdad de la
ıo,
o
proposici´n o desarrollo de incoherencias
o
Comprensi´nparcial del problema con errores conceptuales
o
Comprensi´n y planteamiento correcto con errores de procedimiento
o
Planteamiento y procedimiento correctos

0-1
2-5
6-9
10

Ponderaciones:
P1
puntos:

P2

10

5

P3
a b
5 5

P4
a b
10 10

a
8

P5
b c
8 4

P6

Total

5

70

1. (10 pts) Demuestre:
Sea S = {v1 , v2 , ..., vn } un subconjunto linealmenteindependiente de vectores del espacio
vectorial V y sea x un vector de V que no puede ser expresado como una combinaci´n lineal
o
de los vectores de S, entonces {v1 , v2 , ..., vn , x} tambi´n es linealmente independiente.
e
La proposici´n puede escribirse como: (S es L.I.) ∧ (x ∈ gen{S}) ⇒ (S ∪ {x} es L.I. )
o
/
Sea la combinaci´n lineal k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn + kx = 0. Como x ∈ gen(S)entonces
o
/
k = 0, sino fuera as´ dividiendo para k toda la expresi´n dada, se tendr´ x ∈ gen(S).
ı
o
ıa
Entonces la combinaci´n lineal dada se reduce a k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn = 0 y como S
o
es L.I. se tiene que k1 = k2 = · · · = kn = 0, por lo tanto se ha demostrado que la unica
´
soluci´n de k1 v1 +k2 v2 +· · ·+kn vn +kx = 0 es k1 = k2 = · · · = kn = k = 0 y S ∪{x} es L.I.
o´
2. (5 puntos) Rectifique o ratifique la siguiente DEFINICION:
Un conjunto S de vectores de V es linealmente independiente si y solo si el vector neutro
puede ser escrito como combinaci´n lineal de los vectores de S y los escalares de la combio
naci´n lineal son todos ceros.
o
1
2
1
} es L.D. pero se cumple que 0
,
2
4
2
definici´n podr´ escribirse como:
o
ıa
El conjunto {

+02
4

=

0
, entonces la
0

Un conjunto S de vectores de V es linealmente independiente si y solo si el vector neutro
puede ser escrito como combinaci´n lineal de los vectores de S solo si los escalares de la
o
combinaci´n lineal son todos ceros.
o
3. (10 puntos) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA,
justificando formalmente su calificaci´n.
oa) Sea V un espacio vectorial tal que H ⊆ V . Si H es un subespacio vectorial de V entonces
H C es subespacio de V. (FALSO)
Si H es S.E.V. de V entonces 0V ∈ H pero H c = V \ H entonces 0V ∈ H c y por lo
/
c
tanto H no puede ser S.E.V. de V.
b) Sea V = M3×3 y W = {A ∈ M3×3 /aij = 0, i + j = 4}, entonces W es un subespacio de
V . (VERDADERO)


0 0 a
W = {0 b 0 |a, b, c ∈ R}
c 0 0
Wno es vac´ porque al menos tendr´ un vector, por ejemplo: si a = b = c = 0, se
a

 ıo,
0 0 0
tiene v = 0 0 0 y v ∈ W
0 0 0

 
 
 

0 0 a
0
0
a1 + a2
0 0 a2
0 0 a1
 0 b1 0  +  0 b2 0  =  0
b1 + b2
0  = 0 b 0  ∈ W
c 0 0
c1 + c2
0
0
c2 0 0
c1 0 0

 
 

0 0 a
0 0 ka
0 0 a
Sea k ∈ R, k 0 b 0 =  0 kb 0  =  0 b 0  ∈ W
c 0 0
kc 0 0
c 0 04. (20 puntos) Sea V = P3 . Considere el conjunto de todos los subespacios de V tal que
H(a) = gen 1 + ax + x2 + x3 , 1 + ax + (1 − a)x2 + x3 , x + (2a)x2 + 2x3 , 1 + (1 + a)x + (1 + a)x2 + 3x3 .

a) Determine el valor de a para que dimH = 2


1
a
1
1
a
1−a

0
1
2a
1 1+a 1+a



1
1
0
1
 ∼ ··· ∼ 
0
2
3
0


0 −2a2 + 1 −2a + 1
1
0
2 

0
a
0 
00
0

∴ si a = 0 ⇒ dimH = 2
b) Halle una base y la dimensi´n de los subespacios H(0) ∩ H(1) y H(0) + H(1)
o
Por el literal anterior dimH(0) = 2 y H(0) = gen{1+x2 +x3 , x+2x3 }, adem´s ubicando
a
2
3
3
los coeficientes de los vectores de H(1) = gen{1 + x + x + x , 1 + x + x , x + 2x2 +
2x3 , 1 + 2x + 2x2 + 3x3 } como filas de una matriz, se tiene:

1
1

0
1

1
1
1
2

1...