algebra lineal
Algebra Lineal
(
por Jes´s Juyumaya
u
Agosto, 2006
´
Indice general
Introducci´n
o
5
Cap´
ıtulo 1. PRELIMINARES
7
1.1. Grupos
7
1.2. Anillos y Cuerpos
11
1.3. Ejercicios
13
Cap´
ıtulo 2. MATRICES
17
2.1. Estructura algebraica de las Matrices
17
2.2. Determinante y Adjunta
21
2.3. Sistemas de Ecuaciones y Forma Normal de Hermite28
2.4. Nociones Complementarias
40
2.5. Ejercicios
41
Cap´
ıtulo 3. ESPACIOS VECTORIALES
47
3.1. Espacios y subespacios vectoriales
47
3.2. Combinaci´n lineal y espacio generado
o
51
3.3. Dependencia e Independencia lineal
54
3.4. Base y dimensi´n
o
56
3.5. Coordenadas y matriz cambio de base
61
3.6. Suma de subespacios y espacios vectoriales64
3.7. Espacio cociente
69
3.8. Ejercicios
71
Cap´
ıtulo 4. TRANSFORMACIONES LINEALES
77
4.1. Transformaciones lineales
77
4.2. El espacio Hom(V, W)
85
4.3. El espacio dual
92
3
´
INDICE GENERAL
4
4.4. Ejercicios
´
Cap´
ıtulo 5. DIAGONALIZACION Y FORMA DE JORDAN
95
103
5.1. Diagonalizaci´n
o
103
5.2. Forma de Jordan
1265.3. Ejercicios
138
Ap´ndice A: Lema de Zorn
e
143
Ap´ndice B: Polinomios
e
145
´
Indice alfab´tico
e
151
Bibliograf´
ıa
153
Introducci´n
o
Los temas tratados en el presente apunte corresponden al curso de
Algebra Lineal I, de la Carrera de Matem´ticas de la Universidad de
a
Valpara´
ıso.
La Carrera de Matem´ticas tiene cuatro semestres de formaci´n
a
ob´sica, una vez terminada ´sta primera etapa, el alumno puede optar
a
e
al Plan de Pedagog´ o de Licenciatura en Matem´ticas. El curso de
ıa
a
´
Algebra Lineal I est´ en el tercer semestre. As´ las materias tratadas
a
ı,
en este apunte, intentan cubrir por una parte los requerimientos que
debe tanto un Pedagogo, como un Licenciado en Matem´ticas en un
a
´
primer curso de AlgebraLineal.
A lo largo del apunte utilizaremos, como es usual, las notaciones
N,
Z,
Q,
R y C
para los n´ meros naturales (incluyendo el 0), enteros, reales y complejos
u
respectivamente.
La escritura a := b quiere decir que el t´rmino a es definido como
e
la expresi´n b. An´logamente con la escritura b =: a.
o
a
Cualquier tipo de observaci´n del presente apunte, por fao
vor enviarlasa: juyumaya@uv.cl
5
CAP´
ıTULO 1
PRELIMINARES
1.1.
Grupos
Definici´n 1.1. Un grupo es un conjunto no vac´ G, provisto de
o
ıo
una funci´n de G × G en G, (a, b) → ab, tal que para todo a, b y c
o
en G se cumplen los siguientes axiomas:
1. a(bc) = (ab)c
(asociatividad).
2. Existe un elemento e ∈ G que satisface ea = ae = a.
3. Todo elemento a ∈ G tiene asociado unelemento a−1 ∈ G tal
que aa−1 = a−1a = e.
La funci´n que define el grupo es llamada operaci´n binaria, ley de
o
o
composici´n interna, o simplemente, producto.
o
El elemento e del axioma 2 es unico, y se llama el neutro del grupo.
´
El elemento a−1 en el axioma 3 est´ unicamente determinado por a.
a´
El grupo es conmutativo (abeliano) si adem´s satisface la propiedad
a
de conmutatividad,es decir: ab = ba, para todo a, b ∈ G.
Definici´n 1.2. El orden de un elemento g en G es el menor nao
tural n tal que gn = e. El orden del grupo es la cantidad de elementos
del grupo.
Ejemplo 1.1. Los conjuntos Z, R, Q y C con la suma usual de
n´ meros, son grupos conmutativos. Con la multiplicaci´n usual los conu
o
juntos R× , Q× y C× , son tambi´n grupos conmutativos.
e
7
8
1.PRELIMINARES
Ejemplo 1.2. El conjunto Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} es un grupo con
la suma de enteros m´dulo n. Tabla de operaciones de Z4:
o
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Ejemplo 1.3. Z× := Zn − {0} es un grupo con la multiplicaci´n
o
n
de enteros m´dulo n si, y s´lo si, n es un n´ mero primo. Tabla de
o
o
u
operaciones de Z× :
5
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2...
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