Algebra Lineal



MATERIA: ALGEBRA LINEA
ACTIVIDAD 1: LISTA DE LAS PROPIEDADES DE
LOS NUMERO COMPLEJOS.
BIBLIOGRAFIA: ALGEBRA LINEAL, STANLEY
GROSSMAN PARTE L
PROFESOR: ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO
ALUMNO: JOS ESAU MORENO SHIRMA
1.
FECHA: 30 ENERO 2013.




PROPIEDADES BASICAS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS:

Los números complejos sonuna extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otrasde gran importancia.

Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

Definición: Definiremos cada complejo “z” como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z),Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

Suma

1. la suma de los numero es cerrada, esto quiere decir que si sumas dos complejos el resultado es un complejo tambien2i + 3i = 5i
2 . la suma es conmutativa, es decir
4i + 7i = 7i + 4i
3. la suma es distributiva, entonces
4i + (7i + 5i) = (4i + 7i) + 5i
4. existencia del inverso aditivo, para cada numero complejo existe unnumero, tal que, si los sumamos el resultado es cero. 4i - 4i = 0
5. existencia del neutro aditivo, existe un numero tal que al sumarlo a cualquier numero complejo, el resultado será este ultimo
5i + 0 = 5i
Multiplicación

propiedades para el producto
1. el producto es cerrado, si multiplicas dos numeros complejos el resultado será un complejo tambien,
2. el producto es conmutativo
(2i)(7i) = (7i) (2i)
3. el producto es distributivo
(2i) ((5i) (7i)) = ((2i) (5i)) (7i)
4. existencia del inverso multiplicativo, para cada numero complejo existe un numero, tal que, al multiplicarlos el resultado es 1
(5i) ( (5i)^-1) = 1 o puedes escribir

(5i)(1/5i) = 1

A la primera componente (que llamaremos a) se la llama parte real y a la segunda (que llamaremos b), parte imaginaria. Sedenomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicodeℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espaciovectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
.

Unidad imaginaria Tomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número “i” o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,Representación binomial Cada complejo se representa en forma binomial como:

z = a + bi

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

Plano de los números complejos o Diagrama de Argand Desde un punto devista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como unsubconjunto del plano de los números complejos.

Cada número complejo sería un punto en ese plano. En la parte horizontal o eje real, se colocan los números reales; en el eje vertical o eje imaginario, van los números imaginarios puros.

Dado que cada número complejo consta de una parte real y una imaginaria, puede representarse geométricamente cada número complejo por sus coordenadas en el plano...