ALGEBRA LINEAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
Programa de Ingeniería Industrial
GRUPO: 100408_115

TRABAJO GRUPAL FASE 2

PRESENTADO POR:
Lisney Lenith Torres Madrid (1.081.805.680)
Leidy Liana Martínez (1.082.904.945)
Yeiner Andres Martínez Gutiérrez (1.081.813.370)
Manuel Alfredo Pavajeau Rocha (1.082.867.891)

ENTREGADO A:
JuanPablo Vargas

CEAD, Santa Marta
2014

INTRODUCCIÓN

La presente actividad está relacionada con la realización de diferentes ejercicios
presentados en el álgebra lineal, tales como sistemas de ecuaciones lineales, a
través de la utilización de los diferentes métodos: de gauss, de eliminación
gaussiana, regla de cramer, empleando la factorización y la matriz inversa.

La solución de lossistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación
en la ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en la
administración existe al menos una aplicación que requiera del planteamiento y
solución de tales sistemas. Es por eso, que dentro de los planes de estudio de las
carreras administrativas de la UNAD, en la materia algebra lineal, se incluya el tema
soluciónde sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss Jordán,
por las ventajas que este ofrece. Recordemos que en las últimas décadas el álgebra
lineal se ha convertido en una parte importante de las matemáticas.

OBJETIVOS



Identificar conceptos de sistemas de ecuaciones lineales, eliminación
gaussiana, factorización LU, la matriz inversa, rectas en R3, planos,
espaciosvectoriales, entre otros, ponerlos en práctica reconociendo
su importancia y aplicabilidades.



Entender claramente todas las operaciones que podemos poner en
práctica y con las cuales realizaremos soluciones a problemas
presentados, utilizando las herramientas apropiadas.



Dar solución a todos los ejercicios y problemas que se presentan
dentro de la guía de actividades.

1.Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas
las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1.

x  4 y  7z  1
5x  7 y  z  5
 4 x  y  6 z  4

1 4 7 1
5  7 1 5
4 1
6 4

Para empezar, debemos eliminar la primera columna, nos quedaría así:

1 4 7 1
0 13
34 0
0  15  22 0
Hecho esto, podemos proceder a convertir elsegundo pivote en 1 y dividir la
segunda fila por 13:

1 4
7 1
0 1 34 / 13 0
0  15  22 0

Luego, sustraemos o eliminamos la segunda columna:

1 0 45 / 13 1
0 1 34 / 13 0
0 0 224 / 13 0

Ahora, convertimos el tercer pivote en 1 y dividiendo la tercera fila por 224/13:

1 0 45 / 13 1
0 1 34 / 13 0
0 0
1
0

Finalmente, sustraemos la tercera columna:

1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 10

Siendo entonces:

X=1
Y=0
Z=0

1.2. 3𝑥 − 4𝑦 − 7 𝑧 = 11
5𝑥 − 7 𝑦 − 𝑧 = −18
Desarrollo:
La matriz ampliada es:
3−
[
5−

1
[
0

4−
7−

−

4
3

7 11
]
]
1 −18

−

7

11

3]

3

1 −32 109

1
3

1
𝑓1 [
5

] 𝑓1 +

4
3

−

4
3

−7

𝑓2 [

−

7

11

3]

3

4

] 𝑓2 − 5𝑓1 [
1
0 −3
− 1 − 18

10 − 4
01 − 3

7

1 −3 −3
323

11

]

−

3
109]

−3𝑓2

3

5 149
]
]
2 109

La matriz se encuentra en su forma escalonada reducida por lo que el método
finaliza allí. El sistema resultante es:

𝑥 − 45 𝑧 = 149 ; 𝑦 − 32 𝑧 = 109
Se puede evidenciar que la variable z está presente en las dos ecuaciones y a la z
se llamara variable libre.
Para encontrar el vector que satisfaga las dos ecuaciones serequiere asignarle a
z un valor arbitrario, así obtenemos los valores x e y.
Entonces:
Despejamos x en la primera ecuación:
𝑥 = 149 + 45 𝑧
Despejamos y en la segunda ecuación:
𝑦 = 109 + 32 𝑧
Z es arbitrario, lo que se necesita es un vector (x, y, z), que satisfaga el sistema,
por lo tanto podemos escribirlo de la siguiente manera:
[149 + 45𝑧,

109 + 32𝑧, 𝑧]

Como z es un valor...