Algebra lineal

ALGEBRA LINEAL PARA INGENIERÍA BAIN 036 PAUTA CONTROL Nº 2 (2º Sem. 2007) 1.a) d e t
−1 3 0 −1 −1 0 0 0

(A) =

1 2 3 4

1 1 2 1

2 −2 −1 1
f 2 + ( 3 )1 f 4 + ( − 1 )1

=

1 5 3 3

14 2 0

2 4 −1 −1
D e s a r r o llo por 3 ª col .

5 = − 3 3

4 2 0

4 −1 −1

5 = − 3 0

4 2 −2

4 −1 0 = −2
D e s a r r o llo p o r 3 ª fila

5 3

4 −1

= 34

f 3 + ( − 1 )2Como el sistema tiene el mismo número de ecuaciones (4) que de incógnitas (4) y det( A) = 34 ≠ 0 se puede usar Regla de Cramer.
1 1 −1 2 1 3 2 3 0 2 −2 −1 1 = 34 =1 34
x2 = 1 1 −1 2 2 3 3 3 0 2 −2−1 1 = 0 =0 34

b)

x1 =

4 4 −1 34

4 4 −1 34

(La 1ª y la 2ª columnas son iguales)

x3 = 0 x4 = 0

(En el numerador, la 1ª y 3ª columna son iguales). (En el numerador, la 1ª y 4ª columnason iguales).

⎡1 1 0⎤ ⎡0 1 0⎤ 2.- a) ⎢ ⎥ ∈W pues a − 2b + d = 1 − 2 ⋅1 + 1 = 0 ; ⎢ ⎥ ∈W pues a − 2b + d = 0 − 2 ⋅1 + 2 = 0 ⎣0 3 1 ⎦ ⎣0 4 2⎦ b) 1) W ⊂ M 2 x3 ( R ) por definición. W ≠ ∅ por partea)
2) Sean y sean
⎡a b 0 ⎤ ⎡ a2 A1 = ⎢ 1 1 ⎥ , A2 = ⎢ 0 ⎣0 c1 d1 ⎦ ⎣ b2 c2 0 ⎤ ∈ W , o sea a1 − 2b1 + d1 = 0, d2 ⎥ ⎦

a2 − 2b2 + d 2 = 0 ,

(α1a1 + α 2 a2 ) − 2 (α1b1 + α 2b2 ) + (α1d1 + α 2 d 2) = α1 ( a1 − 2b1 + d1 ) + α 2 ( a2 − 2b2 + d 2 ) = 0 ∴ α1 A1 + α 2 A2 ∈ W ∴ W ≤ M 2 x3 ( R )
c) W = ⎨ ⎢ = ⎨⎢

⎡α a + α a α b + α b 0 ⎤ α1 , α 2 ∈ R . α1 A1 + α 2 A2 = ⎢ 1 1 2 2 1 1 2 2 α1c1 + α2c2 α1d1 + α 2 d 2 ⎥ ⎣0 ⎦

⎧⎡a b 0 ⎤ ⎫ ⎥ / a = α , b = β , c = γ , d = −α + 2 β ; α , β , γ ∈ R ⎬ ⎩ ⎣0 c d ⎦ ⎭

⎫ ⎧ ⎡1 0 0 ⎤ ⎫ ⎤ ⎡0 1 0 ⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎥ / α , β , γ ∈ R ⎬ = ⎨α ⎢0 0 −1⎥ + β ⎢0 0 2 ⎥ + γ ⎢0 1 0 ⎥ / α , β , γ ∈ R ⎬ −α + 2 β ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎣0 ⎭ ⎩ ⎣ ⎭ ⎡1 0 0 ⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡ 0 0 0 ⎤ = ⎢ ⎥,⎢ ⎥,⎢ ⎥ ⎣0 0 −1⎦ ⎣ 0 0 2 ⎦ ⎣ 0 1 0 ⎦ ⎧ ⎡1 0 0 ⎤ ⎡0 1 0 ⎤ ⎡ 0 0 0 ⎤ ⎫ o sea : S = ⎨ ⎢ ⎥,⎢ ⎥,⎢ ⎥ ⎬ esconjunto generador de W . ⎩ ⎣0 0 −1⎦ ⎣0 0 2 ⎦ ⎣ 0 1 0 ⎦ ⎭ 0
3.-

⎧ ⎡α

β γ

α ( x 2 − x + 1) + β ( 2 x 2 + 5 ) + γ ( 3x + 4 ) = 0 P ( R )
2

α + 2β = 0⎫ ⎡ 1 2 0⎤ ⎪ −α + 3γ = 0 ⎬ A = ⎢ −1 0 3...