algebra lineal

















Cap´ıtulo 3


Transformaciones lineales



Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en ´Algebra Lineal.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es
decir, con la operaci´on y la acci´on) de estos espacios.


3.1 Definiciones, ejemplos y propiedades b´asicas

En estasecci´on introduciremos la noci´on de transformaci´on lineal, as´ı como tambi´en ciertas
nociones b´asicas asociadas a estas funciones.


3.1.1 Transformaciones lineales
Definici´on 3.1 Sean (V, +V, ·V) y (W, +W, ·W) dos K-espacios vectoriales. Una funci´on
f : V → W se llama una transformaci´on lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo)
de V en W si cumple:

i) f (v +Vv0) = f (v) +Wf (v0) ∀v, v0∈ V.
ii) f (λ ·Vv) = λ ·Wf (v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.

Observaci´on 3.2 Si f : V → W es una transformaci´on lineal, entonces f (0V) = 0W.

En efecto, puesto que f (0V) = f (0V+ 0V) = f (0V) + f (0V), entonces
³
´
0W= f(0V) + (−f (0V)) =
³
f (0V) + f (0V)
´
+ (−f (0V)) =
= f(0V) +
f (0V) + (−f (0V))
= f (0V) + 0W= f (0V).






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Ejemplos.





Transformacioneslineales

1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0 : V → W , definida por 0(x) = 0W
∀ x ∈ V , es una transformaci´on lineal.

2. Si V es un K-espacio vectorial, id : V → V definida por id(x) = x es una transformaci´on
lineal.
3. Sea A ∈ Km×n. Entonces fA: Kn → Km definida por fA(x) = (A.xt)t es una
transformaci´on lineal.
4. f : K[X ] → K[X ], f (P ) = P 0 es una transformaci´onlineal.
∫1
5. F : C(R) → R, donde C(R) = {f : R → R | f es continua}, F (g) = g(x) dx es una
0
transformaci´on lineal.
Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura
de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio,
por ejemplo en las im´agenes y pre-im´agenes de subespacios por transformaciones lineales:Proposici´on 3.3 Sea f : V → W una transformaci´on lineal. Entonces:

1. Si S es un subespacio de V , entonces f (S) es un subespacio de W .
2. Si T es un subespacio de W , entonces f −1(W ) es un subespacio de V .

Demostraci´on.

1. Sea S ⊆ V un subespacio y consideremos f (S) = {w ∈ W / ∃ s ∈ S, f (s) = w}.

(a) 0W∈ f (S), puesto que f (0V) = 0Wy 0V∈ S.
(b) Sean w, w0∈ f (S). Entoncesexisten s, s0∈ S tales que w = f (s) y w0= f (s0).
Luego w + w0= f (s) + f (s0) = f (s + s0) ∈ f(S), puesto que s + s0∈ S.
(c) Sean λ ∈ K y w ∈ f (S). Existe s ∈ S tal que w = f (s). Entonces λ · w = λ· f (s) =
f (λ · s) ∈ f (S), puesto que λ · s ∈ S.
2. Sea T un subespacio de W y consideremos f −1(T ) = {v ∈ V / f(v) ∈ T }.
(a) 0V∈ f −1(T ), puesto que f (0V) = 0W∈ T.
(b) Sean v, v0 ∈ f−1(T ). Entonces f(v), f(v0) ∈ T y, por lo tanto, f (v + v0 ) = f (v) +
f (v0) ∈ T . Luego v + v0 ∈ f −1(T).
(c) Sean λ ∈ K, v ∈ f −1(T ). Entonces f(v) ∈ T y, en consecuencia, f (λ·v) = λ·f (v) ∈
T . Luego λ · v ∈ f −1(T ).
¤






3.1 Definiciones, ejemplos y propiedades b´asicas





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De la Definici´on 3.1 se deduce inmediatamente que una transformaci´on lineal preservacombinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformaci´on lineal queda un´ıvo-
camente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su
dominio. Comenzamos con un ejemplo.

Ejemplo. Hallar, si es posible, una transformaci´on lineal f : R2 → R2 que verifique f (1, 1) =
(0, 1) y f (1, 0) = (2, 3).
Dado (x1, x2) ∈ R2se tiene que (x1, x2) = x2(1, 1) +(x1− x2)(1, 0). Entonces, si f verifica
lo pedido, debe ser
f (x1, x2) = x2.f (1, 1) + (x1− x2).f (1, 0) = x2.(0, 1) + (x1− x2).(2, 3)
= (2x1− 2x2, 3x1− 2x2).
Adem´as, es f´acil ver que esta funci´on es una transformaci´on lineal y que vale f (1, 1) = (0, 1)
y f (1, 0) = (2, 3).
Luego, f (x1, x2) = (2x1− 2x2, 3x1− 2x2) es la ´unica transformaci´on lineal que satisface
lo pedido.

La...