Algebra Lineal

COMBINACION LINEAL DE VECTORES EN UN ESPACION VECTORIAL

Sea (V,K,+,*), Espacio Vectorial, S={1, 2,..., n} Se dice que un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores S = { 1, 2,..., n} si es que existe alguna forma de expresarlo como suma de parte de todos los vectores de S, multiplicados a cada uno de ellos por un escalar cualquiera .El vector es combinación lineal de losvectores S ssi tal que:
Ejemplo: Sea , espacio Vectorial S = {(1,-1,0),(-2,3,-1),(2,1,-3)}Combinación Lineal: --->3(1,-1,0) + 4(-2,3,-1) - 2(2,1,-3) = (-9,7,2)---> 4(1,-1-0) + 5(-2,3,-1) - 6(2,1,-3) = (¬18,5, 13)
Para saber que un vector es combinación lineal de otro, procedemos de la siguiente manera:= 0Se nos formara un sistema de ecuaciones, el cual tendrá dos opciones por el hecho de ser unsistema de ecuaciones homogéneo :Que tenga única solución, lo que significa que ninguno de los vectores es combinación lineal de otros . Que tenga infinitas soluciones, es decir algún vector es combinación lineal de los otros.
Por Ejemplo :Determine si es combinación lineal .S = {(1,0) , (0,1)}ą ( 1, 0 ) + ß( 0 , 1 ) = ( 0 , 0 )(ą , ß) = ( 0 , 0 ) Realizamos la matriz ampliada 1 0 0 0 1 0 Aldesarrollar el determinante de la matriz ampliada, podemos ver que tiene única solución, debido a que su determinante es diferente de cero, por lo tanto, ninguno de sus vectores es combinación lineal de otro.
S = { ( 1,2,3 ), ( 2, -1,0), (3,1,3) }Entonces, como primer paso: a ( 1, 2, 3 ) + b ( 2 , -1, 0 ) + t (3, 1, 3 ) = ( 0 , 0 )Al desarrollarlo tenemos:(a , 2b ,3 t) + (a 2, - b , t) + (3a ,3 t) = (0, 0, 0 )Al Hacer la matriz ampliada, tenemos: 1 2 3 0 2 -1 1 0 3 0 3 0Al obtener el determinante , nos da como resultado igual a cero, por lo que podemos concluir dos cosas, que el sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones, pero como es un sistema de ecuaciones homogéneas, concluimos que tiene infinitas soluciones.




CONJUNTO DE VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTE YDEPENDIENTE

Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.


Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal delos demás.


También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3.Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.



Vectores linealmenteindependientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ••• = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Ejemplo
Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.:
= (3, 1) y = (2, 3)BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Un espacio vectorial sobre un cuerpo que se dice que tiene dimensión si existe una base de cardinal n. En un espacio vectorial, todas las bases tienen el mismo cardinal, lo que hace de la dimensión el primer invariante del álgebra lineal.
El espacio vectorial trivial {0} tiene como dimensión 0 porque el conjunto vacío es su base: una combinación decero vector da el vector nulo.
Intuitivamente hablando, la dimensión de un espacio vectorial nos dice cuántos elementos necesitamos para poder expresar cualquier elemento del espacio en términos de las combinaciones lineales de los primeros, i.e., cuántos elementos del espacio necesitamos para poder expresar todos los elementos del espacio como sumas de múltiplos de éstos elementos. Los espacios...