Algebra Lineal

Transformaciones lineales:
En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar.
Introducción a las transformaciones.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector paraconvertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se puedenrepresentar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienengran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.
Propiedades de las transformaciones lineales.
Sean  y  espacios vectoriales sobre  (donde  representa el cuerpo) se satisface que:
Si  es lineal, sedefine el núcleo (ker) y la imagen (Im) de  de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:
1. dado que 
2. Dados 

3. Dados 

Se denomina nulidad ala dimensión del núcleo. 
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
* La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
* El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Sean V y W espaciosvectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel de T es:
N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V : T ( v ) = 0 w}
Si T: V -> W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulodel codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
Dado que T(0V) = 0W
2:-dados
3.- dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Nu (T))

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
El rango de unatransformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))
Sea T:V->W una transformación lineal de V en W; se define como núcleo de T como.

Nótese que N(T) es un subespacio de V Por otro lado, se define la imagen de T como o
Im(T)es un subespacio de W. Si A es un subespacio de V y Bes un subespacio de W, entonces los conjuntos

Son subespacios de W y V respectivamente. Obsérvese queN(T)=T 1(0) , e Im(T)=T(V) La dimensión del espacio imagen Im(T)se conoce como el rango de la transformación T, y se denota por rank(T).

La matriz de unas transformaciones lineales.
Representación matricial de una transformación lineal.
Sea T : V !"! W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con...