Algebra Lineal

INSTITUTO TECNOLOGICO DE PIEDRAS NEGRAS

ALGEBRA LINEAL

NOMBRE DEL ALUMNO
FRANCISCO JAVIER SANCHEZ FERNANDEZ

NOMBRE DEL PROFESOR
HECTOR SAUL LOPEZ GALINDO

UNIDAD 4
ESPACIOS VECTORIALES
4.1 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL
4.2 DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES
4.3 COMBINACION LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL
4.4 BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL Y CAMBIO DEBASE
4.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES
4.6 BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM SCHMIDT

FECHA DE ENTREGA
26 DE NOVIEMBRE DEL 2012

UNIDAD 4
ESPACIOS VECTORIALES
4.1 DEFINICION DE ESPACIOS VECTORIALES
ESPACIO VECTORIAL ES UNA ESTRUCTURA ALGEBRAICA CREADA APARTIR DE UN CONJUNTO NO VACIO, UNA OPERACIÓN INTERNA (LLAMADA SUMA, DEFINIDA PARA LOSELEMENTOS DEL CONJUNTO) Y UNA OPERACIÓN EXTERNA (LLAMADA PRODUCTO POR UN ESCALAR, DEFINIDA ENTRE DICHO CONJUNTO Y UN CUERPO MATEMATICO).
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación porescalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo
NOTACION
Dado un espacio vectorial  sobre un CUERPO, se distinguen.
Los elementos de  como:
 se llaman vectores.
Caligrafias de otras obrasSi el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

Los elementos de  como:
 se llaman escalares.
OPERACIONES INTERNAS
1. tenga la propiedad conmutativa, es decir

2. tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir
  
4) tenga elemento opuesto, es decir
 
y la operación producto por un escalar:

Operación externa tal que:
5) tengala propiedad asociativa:
  
6)  sea elemento neutro del producto:
 
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
  
8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
  

UNIDAD 4
ESPACIOS VECTORIALES
4.2 DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES
UN SUBESPACIO VECTORIAL ES EL SUBCONJUNTO DE UN ESPACIO VECTORIAL, QUESATISFACE POR SI MISMO LA DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL CON LAS MISMAS OPERACIONES QUE V.
UN SUBESPACIO VECTORIAL ES EL SUBCONJUNTO DE UN ESPACIO VECTORIAL QUE DEBE CUMPLIR CIERTAS CARACTERISTICAS ESPECIFICAS.
SEA V Y S DOS ESPACIOS VECTORIALES DEFINIDOS EN EL CAMPO K, ENTONCES S ES UN SUBESPACIO VECTORIAL DE V, SI Y SOLO SI, S ⊆ V.
DE HECHO TODOS LOS ESPACIOS VECTORIALES TIENEN SUBCONJUNTOSQUE TAMBIEN SON ESPACIOS VECTORIALES.
El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.
Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espaciovectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:
1. S no es un conjunto vacío.
2. S es igual o está incluido en V.
3. La suma es ley de composición interna.
4. El producto es ley de composición externa.
-Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.
Intersección:
Se define la intersección (∩) de dos subespacios vectoriales S1 y S2 de V, como elsubconjunto de V que verifica:
a ∈ S1 ∩ S2 ⇔ a ∈ S1 Y a ∈ S2
Teorema: La intersección de un número cualquiera de subespacios vectoriales de un espacio vectorial V es, a su vez, un subespacio vectorial de V.
Suma:
Sea (V; K ; +; •) y sean S1 y S2 dos sub espacios de V. Se llama suma de S1 y S2 al conjunto:
S1 +S2 = {s1 + s2 / s1 ∈ S1, s2∈ S2}
Teorema: El conjunto S1 + S2 es un sub espacio de V;...