algebra lineal

ALGEBRA LINEAL
Taller unidad I
MATRICES-SISTEMAS
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´aticas
Martha C. Moreno
Agosto de 2014
1. Considere
lassiguientes matrices:

3 0
4 −1
A = −1 2
B=
C=
0 2
1 1




1 1 0
2 −2 1
1 3
D =  3 2 1
E= 0
1 2 5
−2 1 1
7 −3
G−1 =
2 0

1 4 −1
0 2 1
F −1 =

2 5
−7 6

En caso de ser posible efectuar lassiguientes operaciones:
f ) tr(C t At + 2E t )

a) 2ABC − E t
b) tr(D − 3E)

g) D − 2I3

c) 2At + C
d ) (2E t − 3D t )t

h) F G2

e) AB + C

i ) (2F )−1 (Gt )−1

** tr(M) representa la traza de la matriz cuadrada M, si M = (mij )n×n ,entonces:
tr(M) = ni=1 mii
1

2. Multiplicaci´on de matrices

a) Encontrar k de tal manera que las matrices:

3 −4
−5 1

y

7 4
5 kconmuten.
2 −6
−1 3

encontrar B2×2 = ⊘ y B2×2 = I talque A y B

2 −6
−1 3

encontrar B2×2 = ⊘ talque AB = ⊘ .

b) Si A =
conmuten.
c) Si A =

d ) Sean p(x) = 2x3 − x2 + 5x − 3 y A =
1 2
3 6

e) Considere las matrices: A =

1 −1
0 2
, B=

, determinar p(A).
3 −8
2 3

y

5 2
1 −2
Calcule AB y AC compare y analice.
C=

f ) Encontrar una matriz A2×2 , con A = I y A= ⊘ tal que A2 = A
g) Encontrar una matriz A2×2 , con A = I tal que A2 = I
h) Determinar condiciones para w, x, y, z tales que MN = NM con
w x
1 1
M=
yN=
y z
−1 1
3. Clases de matrices
Clasifique las proposiciones como verdaderas o falsas. JUSTIFIQUE (si es
verdadero demuestre si es falsa encuentre un contraejemplo)
a) Si A y B son matrices sim´etricas del mismo tama˜
no y conmutan,entonces AB es sim´etrica.
b) Si A y B son matrices n × n, A sim´etrica y B antisim´etrica, entonces
A + B es antisim´etrica.
c) Sea C una matriz n × m, entonces la matriz C t C es sim´etrica.
d ) Si A y B son matrices ortogonales, entonces AB es ortogonal.
e) Si A y B son idempotentes y conmutan, entonces AB es idempotente.

2

f ) Sea wn×1 talque w t w = 1, se define: H = In − 2ww t,entonces H es
sim´etrica y ortogonal.


0 1 1
g) La matriz:  0 0 1  es nilpotente.
0 0 0
4. Concepto de matriz Inversa-Propiedades
a) Demostrar que si ad − bc = 0 , entonces la inversa de la matriz:
a b
d −b
1
es A−1 = ad−bc
A=
c d
−c a
b) Usar la informaci´on dada y las propiedades para encontrar X
1) (2X)−1 =
2) (I + 2X)

−1

2 −1
3 5
=

3) (5X t )−1 =

−1 2
4 54) 2X

1 −1
2 1

−3 −1
5
2
=

4 2
1 −1

c) Demostrar que si una matriz cuadrada A satisface A2 − 3A + I = 0,
entonces: A−1 = 3I − A
d ) Demostrar que si A es una matriz antisim´etrica de tama˜
no n × n,
entonces la matriz: (In − A)(In + A)−1 es ortogonal.
5. Sistemas de Ecuaciones
a) Encontrar todos los valores de a, b, c para los cuales la matriz A es
sim´etrica.


2 a− 2b + c 2a + b + c
5
a+c 
A = 3
0
−2
7
b) Encontrar todos los valores de x, y, z para los cuales las matrices
sean iguales:
−x − 5z z − x − y + 7
x − 3y + 9
y−z
=
0
−3x + 3y − 2z
0
2x + y + z + 2

3

t

2 5
como combinaci´on lineal de la matri3 −8
1 2
4 −1
−2 5
,
,
0 0
3 0
6 1

c) Expresar la matriz
ces:

1 0
1 0

,

d ) Determine todas las soluciones delsistema lineal dado en cada caso.


2x − y + z = 3
ii.
i.
x − 3y + z = 4


−5x − 2z = −5


2x − y + z + w − t = 0
iii.
3x + y − 2z + 2t = 0


x − y + z + 2w − t = 0



x + y + z + w = 6
2x + y − z = 3


3x + y + 2w = 6


x + 2y − z = 0
iv.
2x + y + z = 0


5x + 7y + z = 0

e) Determinar los valores de las constantes dadas(a y/o b seg´
un elcaso)
paralos cuales los sistemas de ecuaciones:



x
+
y
−
z
=
4

ax + bz = 2
i.
ii.
x + 2y + z = 7
ax + ay + 4z = 4




2
3x + 6y + (a − 5a + 9)z = a + 18
ay + 2z = b




(b − 1)x − 2y + 2z = 0
x + y + 3z = 2
iv.
iii.
−x + by − 2z = 0
x + 2y + 4z = 3




−x − y + (b − 1)z = 0
x + 3y + az = b
A. Tienen soluci´on u
´ nica.
B....