Algebra Lineal
Páginas: 44 (10930 palabras)
Publicado: 11 de diciembre de 2012
4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de ortonormalización Gram-Schmidt.
Cambio de base
En el estudio de las ciencias, surgen a menudo situaciones en las cuales un sistema coordenado como son los vectores de la base canónica i, j,k en R3, no sea el más adecuado. Por ejemplo en el estudio de una molécula cuyos átomos estén unidos en forma de una pirámide. La determinación de losángulos y de las longitudes de los enlaces entre los átomos de esta molécula se simplifica en gran medida si cambiamos los vectores de la base i, j,k por otros vectores de una nueva base u, v,w en R3 que estén en la misma dirección de las aristas de la pirámide. Al procedimiento de cambiar de un sistema coordenado con vectores i, j,k a otro con vectores u, v,w, (vea las figuras), se le conoce comocambio de base.
k u v w
0 j 0
i
Figura 1 (a) (b)El cambio de base también puede hacerse en los problemas con espacios vectoriales. En primer lugar veremos las coordenadas de un vector general con respecto a una base fija. Enseguida se verá como cambiar las coordenadas de una base anterior a una base nueva.
Tenemos así la siguiente definición para vector de coordenadas:
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con una baseB=v1, v2,⋯,vn para cada vector v, que pertenece a V, existen escalares únicos c1, c2,⋯,cn tales que
v=c1v1+c2v2+⋯+cnvn
El vector cuyos componentes son los coeficientes de v, se escribe como vB, y se conoce como vector de coordenadas de v con respecto a B.
vB=c1c2⋮cn
Si se cambia la base B entonces vB se modifica. El vector vB también depende del orden de los elementos de la base B. Porlo anterior es importante que siempre se respete el orden de los vectores de una base dada.
En la figura 2, los vectores que son ortogonales (perpendiculares), corresponden a los vectores de la base canónica i, j, que como ya sabemos estos vectores tienen componentes i=1, 0 y j=0, 1, estos dos vectores forman la base estándar B1=i, j. Los vectores v1 y v2 tienen un ángulo menor a 900, perotienen una longitud mayor que la base canónica son los vectores de la base B2=v1, v2 . El vector v se expresa como vector de coordenadas en las dos bases, es decir, como vB1 y vB2.
v2
j v1
i Figura 2
B1=i, j ,v=c1i+c2j=6.5i+6j, vB1=6.56. Los valores 6.5 y 6 son de la figura.
B2=v1, v2 , v=c1v1+c2v2=3v1+2v2, vB2=32. Los valores 3 y 2 son de la figura.
Vea que el vector v tiene como componentes los escalares c1 y c2 que multiplican a los vectores de cada una de las bases. Observe que la figura muestra que la componente en la dirección de v1 tiene 3 unidades en v1 que corresponde al valor delescalar c1=3 y que la componente en la dirección de v2 tiene 2 unidades en v2 que corresponde al valor del escalar c2=2.
Por regla general siempre que se da un vector y no se indica que esté en alguna base queda entendido que el vector está en base canónica.
1.- Ejemplo que muestra que cualquier vector en R3 está en base canónica. ( indica que se cumple).
Sea el vector v= 7-3 2 el cual estáen la base canónica B=i, j,k. Determine vB.
Se tiene que B=i, j,k=100, 010,001 y v=c1i+c2j+c3k.
7-3 2=c1100+c2010+c3001=7100+-3010+2001
7-3 2=700+ 0-3 0+002= 7-3 2 . Vea que las componentes son los escalares.
vB= 7-3 2
Teorema 1. Sea B=v1, v2,⋯, vn una base de un espacio vectorial V de dimensión finita. Sean u, u1, u2,⋯, um. Es posible afirmar que u es...
Cambio de base
En el estudio de las ciencias, surgen a menudo situaciones en las cuales un sistema coordenado como son los vectores de la base canónica i, j,k en R3, no sea el más adecuado. Por ejemplo en el estudio de una molécula cuyos átomos estén unidos en forma de una pirámide. La determinación de losángulos y de las longitudes de los enlaces entre los átomos de esta molécula se simplifica en gran medida si cambiamos los vectores de la base i, j,k por otros vectores de una nueva base u, v,w en R3 que estén en la misma dirección de las aristas de la pirámide. Al procedimiento de cambiar de un sistema coordenado con vectores i, j,k a otro con vectores u, v,w, (vea las figuras), se le conoce comocambio de base.
k u v w
0 j 0
i
Figura 1 (a) (b)El cambio de base también puede hacerse en los problemas con espacios vectoriales. En primer lugar veremos las coordenadas de un vector general con respecto a una base fija. Enseguida se verá como cambiar las coordenadas de una base anterior a una base nueva.
Tenemos así la siguiente definición para vector de coordenadas:
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con una baseB=v1, v2,⋯,vn para cada vector v, que pertenece a V, existen escalares únicos c1, c2,⋯,cn tales que
v=c1v1+c2v2+⋯+cnvn
El vector cuyos componentes son los coeficientes de v, se escribe como vB, y se conoce como vector de coordenadas de v con respecto a B.
vB=c1c2⋮cn
Si se cambia la base B entonces vB se modifica. El vector vB también depende del orden de los elementos de la base B. Porlo anterior es importante que siempre se respete el orden de los vectores de una base dada.
En la figura 2, los vectores que son ortogonales (perpendiculares), corresponden a los vectores de la base canónica i, j, que como ya sabemos estos vectores tienen componentes i=1, 0 y j=0, 1, estos dos vectores forman la base estándar B1=i, j. Los vectores v1 y v2 tienen un ángulo menor a 900, perotienen una longitud mayor que la base canónica son los vectores de la base B2=v1, v2 . El vector v se expresa como vector de coordenadas en las dos bases, es decir, como vB1 y vB2.
v2
j v1
i Figura 2
B1=i, j ,v=c1i+c2j=6.5i+6j, vB1=6.56. Los valores 6.5 y 6 son de la figura.
B2=v1, v2 , v=c1v1+c2v2=3v1+2v2, vB2=32. Los valores 3 y 2 son de la figura.
Vea que el vector v tiene como componentes los escalares c1 y c2 que multiplican a los vectores de cada una de las bases. Observe que la figura muestra que la componente en la dirección de v1 tiene 3 unidades en v1 que corresponde al valor delescalar c1=3 y que la componente en la dirección de v2 tiene 2 unidades en v2 que corresponde al valor del escalar c2=2.
Por regla general siempre que se da un vector y no se indica que esté en alguna base queda entendido que el vector está en base canónica.
1.- Ejemplo que muestra que cualquier vector en R3 está en base canónica. ( indica que se cumple).
Sea el vector v= 7-3 2 el cual estáen la base canónica B=i, j,k. Determine vB.
Se tiene que B=i, j,k=100, 010,001 y v=c1i+c2j+c3k.
7-3 2=c1100+c2010+c3001=7100+-3010+2001
7-3 2=700+ 0-3 0+002= 7-3 2 . Vea que las componentes son los escalares.
vB= 7-3 2
Teorema 1. Sea B=v1, v2,⋯, vn una base de un espacio vectorial V de dimensión finita. Sean u, u1, u2,⋯, um. Es posible afirmar que u es...
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