Algebra Lineal

Ecuaciones diferenciales no exactas
En muchas ocasiones, una ecuación diferencial homogénea de primer orden y primer grado, M x , ydx+N x , ydy=0, que no es exacta, esto es:
∂M x,y∂y≠∂N(x,y)∂x
se puede transformar en una ecuación diferencial exacta multiplicándola por un factor de integración el cual puede ser de forma:
x2, xy , yx , xy , x2y , etc.
Si este factor deintegración es solamente una función de x, se define como:
Fx=epxdx ,donde
Px= ∂M∂y- ∂N∂xN
Análogamente, si el factor de integración es solamente función de y se define como:
Fy=ePydy , dondePx= ∂N∂y- ∂M∂xM
Ejemplo 8.19
Resolver la ecuación diferencial x2+y2+xdx+xy dy=0
Solución: Si Mx,y=x2+y2+x y Nx,y=xy , entonces
∂M∂y=2y Y ∂N∂x=y
∂M∂y≠ ∂N∂x
La ecuación diferencial noes exacta. Para transformarla en exacta, deberá multiplicarse por un factor de integración. Esto es:
Px= ∂M∂y- ∂N∂xN

Sustituyendo se tiene
Px= 2y-yxy=1x
Por lo tanto, el factor deintegración esta dado por:
Fx=ePxdx =e1x=eln x=x
Multiplicando la ecuación diferencial por este factor se tiene:
x3+xy2+x2dx+ x2y dy=0
Por lo tanto las nuevas funciones son:
Mx,y=x3+xy2+x2 yN(x,y)=x2y
∂M∂y=2xy y ∂N∂x=2xy
siendo ya una ecuación diferencial exacta, cuya solución está dada por:
fx,y=Mx,ydx+φy
=x3+xy2+x2dx+φy
=x44+x33+x2y22+φ(y)

Derivando conrespecto a y e integrando:
∂fx,y∂x=x2+y+ddyφy=Nx,y=x2y
ddyφy=0 ⇒dφy=0, integrando
dφy=0⇒φy=c

Sustituyendo este resultado en (18), La solución general es:
fx,y=x44+ x33+x2+y22+c

Ejemplo8.20
Resolver la ecuación diferencial 2xy4ey+2xy3+ydx+x2y4ey-x2y2-3xdy=0.
Solución: Si Mx,y=2xy4ey+2xy3+y y Nx,y=x2y4ey-x2y2-3x , entonces:
∂M∂y=2xy4ey+4eyy3+6xy2+1∂N∂x=2xy4ey-2xy2-3
∂M∂y ≠∂N∂x
La ecuación diferencial no es exacta; se transforma en exacta multiplicándola por un factor de integración, esto es:

Py= ∂N∂x- ∂M∂yM, sustituyendo,

Py=...