Algebra lnela

´ Algebra Lineal I Semestre 2011-I
Profesora: Ana Patricia Kuri Gonz´lez a

Tarea II 7 de septiembre de 2010
Ayudante: C´sar Zamora Mart´ e ınez

1. Diga si los siguientes enunciados son ciertos o falsos en cada caso. Justifique su respuesta dando prueba o contraejemplo: (i) 0 ∈ L(S) para todo ∅ = S ⊆ V . (ii) L(∅) = ∅. (iii) S ⊆ L(S). (iv) Dado S ⊆ V se tiene que L(S) es igual a laintersecci´n de todos los subespacios de V o que contienen a S. 2. En cada uno de los siguientes incisos, diga si el vector v est´ en L(S). a (i) v = (2, −1, 1) y S = {(1, 0, 2), (−1, 1, 1)} ⊆ R3 ; (ii) v = −x3 + 2x2 + 3x + 3 y S = {x3 + x2 − x − 1, x2 + x + 1, x + 1} ⊆ P3 (R); 1 2 1 0 0 1 1 1 (iii) v = yS= , , ⊆ M2×2 (Z5 ). −3 4 −1 0 0 1 0 0 3. Sea F un campo. Demuestra que si 1 0 0 0 0 1 , M2 = y M3 = ,0 0 0 1 1 0 entonces el subespacio de M2×2 (F ) generado por {M1 , M2 , M3 } es el conjunto de todas las matrices sim´tricas de 2 × 2, es decir todas las matrices A ∈ M2×2 (F ) que satisfacen A = At . e 4. Sea ∅ = W ⊆ V . Demuestra que W ≤ V sii L(W ) = W . M1 = 5. Si S1 , S2 ⊆ V son tales que S1 ⊆ S2 entonces L(S1 ) ⊆ L(S2 ). 6. Si S1 ⊆ S2 y L(S1 ) = V entonces L(S2 ) = V . 7. Da un ejemplo deun espacio vectorial, V y subconjuntos distintos S1 , S2 ⊆ V tales que L(S1 ) = L(S2 ). 8. Si S1 , S2 ⊆ V entonces L(S1 ∪ S2 ) = L(S1 ) + L(S2 ). Adem´s L(S1 ∩ LS2 ) ⊆ L(S1 ) ∩ L(S2 ). a 9. Exhibe un ejemplo de un espacio vectorial V y subconjuntos S1 , S2 ⊆ V en el que suceda que L(S1 ∩ LS2 ) L(S1 ) ∩ L(S2 ). 10. Sea S ⊆ V con la propiedad de que para cualesquiera n ∈ N, v0 , v1 , . . . , vn ∈ S ya0 .a1 , . . . , an ∈ F tales que a0 v0 + a1 v1 + . . . + an vn = 0 entonces a0 = a1 = . . . = an = 0. Demuestra que si v ∈ L(S), entonces v existe una unica representaci´n de v como combinaci´n lineal de ´ o o elementos de S. 11. Demuestre que los siguientes conjuntos β son bases de los espacios vectoriales V . A estas bases se les llama las bases can´nicas de los espacios vectoriales dados. o n(i) V = F para cualquier campo F , y β = {e1 , e2 , ..., en }, donde ej es el vector tal que su j-´sima coordenada es 1 y el resto de sus coordenadas son 0; e (ii) V = Mm×n (F ) para cualquier campo F y cualesquiera m, n ∈ N+ , y β = {E ij : 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n}, donde E ij es la matriz tal que la entrada correspondiente al i-´simo e rengl´n y la j-´sima columna es 1 y las dem´s entradas son 0;o e a (iii) V = Pn (F ) para cualquier campo F , y β = {1, x, x2 , ..., xn }. 12. Diga si los siguientes subconjuntos son linealmente dependientes o linealmente independientes, justificando su respuesta. (i) S = {x3 + 2x2 , −x2 + 3x + 1, x3 − x2 + 2x − 1} en el espacio P3 (R); (ii) S = {(1, −1, 2),  −2, 1)(1,  4)} en el espacio R4 ;   (1,  1,      0 0 0 0 1 0 0 1   1 1 (iii) S =  00  ,  1 1  ,  0 0  ,  1 0  ,  0 1  en el espacio M2×3 (F )   0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 con F cualquier campo. 13. Sea S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} un subconjunto del espacio vectorial sobre F , F 3 1

(a) Si el campo es F = R, ¿es S linealmente dependiente o no? (b) Si el campo F es tal que Car(F ) = 2, ¿Es S linealmente dependiente o no? Nota: Este ejercicio muestra que lacaracter´ ıstica de un campo afecta en gran medida la dependecia lineal en los espacios vectoriales. 14. Demuestre que los siguientes subconjuntos de vectores del espacio F(R, R) son linealmente independientes. (i) {f (t) = ert , g(t) = est }, donde r, s ∈ R y r = s; (ii) {f (x) = sin(x), g(x) = cos(x)}; y (iii) {f (x) = cos(nx), g(x) = cos(mx)}, donde n, m ∈ N+ y n = m. 15. Sea V un espacio vectorial ysean S1 y S2 subconjuntos de V . Demuestre lo siguiente: (i) S1 es linealmente dependiente sii S1 = {0} o existen vectores distintos v, u1 , u2 , ..., un en S, con n ≥ 1, tales que v es una combinaci´n lineal de u1 , u2 , ..., un . o (ii) Sea S1 = {u1 , u2 , ...un } un conjunto finito de vectores de V . Entonces S1 es linealmente u u dependiente sii ui = 0 para alg´n i ∈ {1, . . . n} o uk+1 ∈...