Algebra Universitaria

UNIVERSIDAD DEL SOCONUSCO
CLAVE SEP 07PSU0052L

Diseño Autoinstruccional

Materia: ÁLGEBRA UNIVERSITARIA

TAPACHULA DE CÓRDOVA Y ORDÓÑEZ, CHIAPAS.

UNIDAD CINCO: TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades.

• DEFINICIÓN:
• Transformación lineal: sean V y W espacios vectoriales reales. Una
transformación lineal T de V en W es una funciónque asigna a cada
vector v є V es un vector
•

T( u+ v) = Tu + Tv

•

(αv) = αTv

Tres notas sobre notación
•

Se escribe T: V →W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo
lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su
dominio y un subconjunto de W como su imagen.

•

Se escriben indistintamente Tv y T (v). Denotan lo mismo; las dos seleen
“T de v”. Esto es análogo a la notación funcional , que se lee “ de ”.

TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un
vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy
sencillo ya que pueden ser facilmente interpretados dentro de un contexto gráfico,
lamentablemente no siempre ocurre y esnecesario transformar a los vectores
para poderlos trabajar más facilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas
lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede
utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran
variedad de cálculos, por lo que es de gran interes demostrar que un proceso
puede ser reducido a un sistema lineal, lo cualsolo puede lograrse demostrando
que estas operaciones forman una transformación lineal.

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda
aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las
siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V
en W. T es una transformación lineal si para cadapar de vectores de u y v
pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1.
2.

donde k es un escalar.

Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la
mecánica cuántica. Para detalles específicos sobre estos, ver el artículo Operador
(mecánica cuántica).
Propiedades de las transformaciones lineales
1.
TransformaciónLineal Singular y No Singular

Sean
y
espacios vectoriales sobre el mismo campo
transformación lineal de
en
. Entonces,
es no singular si:

y

una

X
En caso contrario

es singular.

Teorema fundamental de las transformaciones lineales


Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores
de W no necesariamente distintos, entonces existe unaúnica transformación lineal
Para todo

Clasificación de las transformaciones lineales
1. Monomorfismo: Si
2.
3.
4.
5.

es inyectiva, o sea si el único elemento del

núcleo es el vector nulo.
Epimorfismo: Si
es sobreyectiva (exhaustiva).
Isomorfismo: Si
es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
Endomorfismo: Si
o sea si el dominio es igual al codominio (el
espacio vectorial de saliday el de llegada son el mismo).
Automorfismo: Si
es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Definición 1 Sean

espacios vectoriales, y sea

1. Una transformación lineal (o morfismo ) si dados

2. Un Monomorfismo si es un morfismo inyectivo.
3. Un epimorfismo si es un morfismo sobreyectivo.
4. Un isomorfismo si es un morfismo biyectivo.

. Diremos que

,

es:

,

Ademásllamaremos

(

, donde

es la función constante cero, esto es:

Y la suma y producto escalar en

1. Si

para abreviar) al espacio de morfismos de

,

se definen así:

entonces

es

la

transformación

dada

por

transformación

dada

por.

.
2. Si

,

,

entonces

es

la

TEOREMAS
TEOREMA 2.1 Si T : V
W es una transformación lineal, entonces V es...