Algebra Vectorial

Tema :

ALGEBRA VECTORIAL

CONCEPTO FISICO DE VECTOR Un vector es una magnitud (módulo o intensidad) con una dirección y sentido. Elementos de un vector Existe la necesidad de explicar fenómenos físicos que no pueden ser descritos con un solo valor, por ello es necesario definir 3 características importantes de vector: 1. Magnitud o módulo: Determinada por el tamaño del vector. 2. Dirección:determinada por la recta en la cual se ubica el vector. 3. Sentido: determinada con respecto a la dirección de la recta que la contiene. Ejemplo: La distancia entre dos puntos que parten de un mismo lugar no puede quedar determinada únicamente por sus velocidades. Por ejemplo si las velocidades de los autos son 30 y 40 respectivamente existen 3 posibilidades: a) 10 Km. Si los dos autos llevan lamisma dirección y el mismo sentido.

A B

30 40 10

b) 70 km. Si tienen la misma dirección y sentidos opuestos.

A

30

B

40

70
c) 50 Km. Cuando las direcciones de los autos son ortogonales.

A 30 50

40 B
Notación Matemática Los vectores se denotarán con letras minúsculas con un flecha arriba tales como a , b , c , etc.

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Ingeniería Civil y Minas 2012-II

Los puntosse denotarán con letras mayúsculas tales como A , B , C . En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como a, b, k .

a   a1 , a2  , vector en b   b1 , b2  , vector en

2 2 3

a   a1 , a2 , a3  , vector en
Ejemplo: a   2,3 ,

a  1, 0, 2 

Si el punto inicial de un vector v es A y el puntofinal es B , entonces v  AB Notación Física

a  a1i  a2 j , vector en

2 3

a  a1i  a2 j  a3k , vector en
Ejemplo: a  2i  3j

TIPOS DE VECTORES 1. Vector libre: Es aquel que tiene por origen cualquier punto del espacio. 2. Vector deslizante: Es aquel vector contenido en una recta. 3. Vector posición: Su origen es un punto dado en el espacio. El vector posición da la posición deun segmento punto en relación al origen. Por ejemplo, el vector posición OP da la posición de P en relación con O (origen). 4. Vector cero o nulo: Es aquel cuyo origen y extremo son coincidentes, el vector cero ó nulo se reduce a un punto y se representa por O . 5. Vector opuesto: Da un vector a  AB , el vector opuesto de a es el vector BA , es decir, tiene el mismo módulo, la misma dirección y elsentido contrario de AB . Se representa por a  BA . 6. Vector unitario: Un vector u es unitario si y solo si, u  1 7. Vectores coplanares: se dice que los vectores no nulos

a , b , c ,…, v son coplanares si sus

representantes AB , CD ,.., EF pertenecen a un mismo plano. 8. Vectores iguales: Dos vectores a  AB y b  CD son iguales ( a  b ), si y solamente si

AB CD (El mismo módulo,dirección y sentido)
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REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE VECTORES EN

2

Un vector es representado geométricamente mediante un segmento orientado es decir un segmento en el cual se representa la magnitud, la dirección y el sentido.

Y

a
X
Segmento orientado

Vector a

P2

P2

P 1

P 1

PP2 : Segmento orientado de P a P2 1 1
Se cumple: PP2 +P2 P =0 1 1

P2 P : segmento orientado de P2 a P 1 1

a  P P2 1   x2  x1 , y2  y1   P2  P 1

Y

P  ( x1 , y1 ) 1
Punto inicial

P2  ( x2 , y2 ) Punto final

a1

a2

a
X

a   a1 , a2 

Segmentos equivalentes

Y

a

b
X

c

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Ingeniería Civil y Minas 2012-II

a b  a y b Tienen el mismo módulo, dirección y sentido, punto inicial y punto finaldiferentes
Ejemplo: - P (0, 0) , P2 (3, 4) 1

- P (1,1) , P2 (4,5) 1

a  PP2 1   3  0,4  0   P2  P 1

a  PP2 1   4  1,5  1  P2  P 1

a   3, 4 

a   3, 4 

LONGITUD O MODULO (MAGNITUD Ó NORMA) DE UN VECTOR La longitud (ó magnitud ó módulo o norma) de un vector v   x, y  denotado por v real no negativo dado por: es el número

v  x2  y 2 .
Si v  PP2 , entonces:...