Algebra y sus funciones

Álgebra y funciones
CONTENIDOS CURRICULARES:
  Raíces cuadradas y cúbicas
Comencemos el estudio de las raíces, haciéndonos la siguiente pregunta: Si el área de un cuadrado es 15 cm2, ¿cuál es su área?
 Para responder a esto, debemos encontrar un número cuyo cuadrado es 15, este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es aproximadamente 3,8729.
Si generalizamos lo anterior podemos afirmarque: [pic].
 Si a es un número positivo, entonces b es positivo; por lo tanto  [pic]y no ±3 como erróneamente se cree. Por otro lado, la igualdad:  [pic]se cumple solo si x>0, ya que si tenemos  [pic]esto no es igual a  –3, ya que sería contradictorio con lo anterior. Por lo tanto, la propiedad es: [pic](para cualquier valor real de x).
 Si en la raíz:  [pic], a es negativo, entonces la raíz no esun número real. Si la raíz es cúbica, tenemos que: [pic].
 En este caso, si a es negativo, b resulta ser negativo y si a es positivo, b también; por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real.
 En general, las raíces se pueden definir mediante una potencia de exponente fraccionario:
 Definición: 
[pic], donde n se denomina el índice de la raíz; como vimos anteriormente,cuando este no aparece se entiende que es dos (raíz cuadrada).
La definición está sujeta a las restricciones que vimos en el párrafo anterior: es decir, las raíces de índice par están definidas para números no negativos y las de índice impar están definidas para todo número real.
Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades depotencias que estudiamos en el módulo anterior; de estas se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces:
       Propiedades de las raíces
 1) Multiplicación de raíces de igual índice:
 
[pic] 
2) División de raíces de igual índice:
 
[pic] 
 
3) Raíz de raíz: 
[pic] 
 4) Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice: 
[pic] 
5) Propiedad de amplificación:
[pic] 
6)Ingreso de un factor dentro de una raíz:
[pic] (con la restricción que a>0 si n es par)  
Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces estén definidas en los números reales.
Veamos a continuación la demostración de algunas de las propiedades, para que veas su analogía con las propiedades de las potencias: 
Demostración de (1):
[pic] 
Demostraciónde (5):
[pic] 
Demostración de (6):
[pic]
Operatoria con raíces
Adición y sustracción de raíces semejantes
Se llaman raíces semejantes aquellas que tienen la misma cantidad subradical. Por ejemplo,  [pic]son raíces semejantes y se pueden sumar y/o restar:
En el caso de querer sumar o restar raíces no semejantes, se debe descomponer las cantidades subradicales para convertirlas a raícessemejantes.
 Ejemplo:
  [pic]
Descomponiendo las cantidades subradicales en forma conveniente:
[pic] 
Multiplicación y división de raíces de igual índice
En este caso aplicamos las propiedades 1 y 2 de las raíces.
Ejemplo:
[pic]
Descomponiendo las cantidades subradicales:
Multiplicación y división de raíces de distinto índice.
En este caso es conveniente utilizar la propiedad deamplificación para igualar índices.
Ejemplo:
[pic]
El m.c.m. de los índices es seis, entonces amplificamos para igualar los índices a seis:
[pic]   
Racionalización
La racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador  de una fracción.
Analizaremos a continuación los casos más importantes:
Caso 1: una raíz cuadrada en el denominador, sin adiciones ni sustracciones.Ejemplo:
Racionalizar: [pic]
Amplificamos la fracción por [pic]:
[pic]
 
 
Caso 2: una raíz cuadrada en el denominador, con adiciones o sustracciones.
Ejemplo: 
Racionalizar: [pic]
Amplificamos la fracción por [pic], para formar en el denominador una suma por su diferencia: 
[pic] 
Caso 3: una raíz cúbica en el denominador, sin adiciones o sustracciones.
Ejemplo:
Racionalizar: [pic]...