Algebra

Actividad 1 Resolver los siguientes sistemas empleando el método de triangulación de Gauss. Aplicar el procedimiento aprendido en el Seminario Universitario.
Saberes previos a aplicar: • • Operaciones en reales Mecanismos de cálculo aprendidos en el Seminario

⎧4 x + 2 y = 3 a) ⎨ ⎩12x + 6 y = 2

⎧4 + 3y = 3x b) ⎨ ⎩x − 8 = 2 y

⎧x + y + z = 2 ⎪ c) ⎨x − 2 y − z = 1 ⎪2 x − 3 y + 2 z = 4 ⎩4.2.- Método de la matriz inversa.

⎧5x + y + z = 0 ⎪ d) ⎨x − y − z = 0 ⎪3x − y + 3z = 0 ⎩

Actividad 2
Saberes previos a aplicar: • • • • Operaciones en reales Concepto de matriz. Operaciones básicas con matrices. Matriz inversa
Sea A . X = B ( * ) un sistema de ecuaciones lineales donde: A∈ Rnxn, X ∈ Rnx1 y B ∈ Rnx1. Si A es una matriz no singular entonces existe A–1 , tal que multiplicandoa izquierda en ambos miembros de (*) por la inversa sucede que: A–1 . A . X = A–1 . B Donde por definición de matriz inversa: A–1 . A = I y I . X = X, entonces: X = A–1 B

2.1 Mediante el Método de inversión de matrices, resolver los sistemas de la Actividad 1 2.2 Completar cada uno de los siguientes enunciados:

25

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

a) Si existe A–1, el sistemade ecuaciones lineales cuadrado: A.X = B se clasifica según su conjunto solución como.............................................................. b) Si A ≠ 0 entonces existe.........................y obtenemos la solución del sistema de ecuaciones lineales cuadrado A.X = B por medio de la operación matricial.............................................. c) Si el sistema de ecuaciones linealescuadrado A.X = B es compatible determinado entonces la matriz A es...................................................................... d) Si el rango de la matriz Anxn es n entonces el determinante de A es....................................y existe........................ Luego, el sistema de ecuaciones lineales cuadrado A.X = Bes................................................................................. 2.3 Empleando el método matricial, determinar el valor de k para que el vector: de vectores:

v = (2 ; 2 ; 5)

sea

combinación

lineal

del

conjunto

A = { ( 1;1;1 ); ( 2 ; 2 ; k ); ( 2 ; k ;1 ) }
4.3.- Método de Cramer. Actividad 3
Saberes previos: • • Operaciones en reales Concepto de determinante. Operaciones básicas con determinantes.

•

Introducciónteórica: Definición del Método de Cramer Si A . X = B es un sistema de ecuaciones lineales donde A ∈ Rnxn y el determinante de la matriz de coeficientes A es distinto de cero entonces el valor de la incógnita xk se obtiene como resultado de dividir al determinante asociado a la incógnita xk por el determinante asociado a la matriz de coeficientes A del sistema. Δx k En símbolos: x k = Δ donde: Δx k : sedenomina determinante asociado a la incógnita xk y que se obtiene por reemplazar en el determinante asociado a la matriz A la columna de los coeficientes de la incógnita xk por la columna de términos independientes del sistema de ecuaciones. Δ : se denomina determinante del sistema de ecuaciones y es el determinante asociado a la matriz de coeficientes A del sistema de ecuaciones.

26Álgebra y Geometría Analítica

Demostración del Método de Cramer
Sea A . X = B un sistema de ecuaciones lineales cuadrado, tal que el determinante de la matriz de coeficientes A no es nulo. Δx k D(A1 A 2 L B L A n ) Demostraremos que: x k = = Δ D(A1 A 2 L A k L A n ) donde: k = 1, 2, 3, ..., n Ak son las columnas de la matriz de coeficientes A del sistema de ecuaciones lineales B es la columna detérminos independientes del sistema de ecuaciones lineales Entonces:
n ⎛ ⎞ L B L A n ) = D⎜ A 1 A 2 L ∑ x k . A k L A n ⎟ ⎜ ⎟ k =1 ⎝ ⎠ En consecuencia, como la columna k del determinante es una suma de n términos, este determinante puede descomponerse en la suma de n determinantes, resultando:

D(A 1

A2

⎛ ⎜ D⎜ A 1 ⎝

A2

L

k =1

∑ xk . Ak

n

⎞ L An ⎟ = ⎟ ⎠

= D(A 1 + D(A1...