Algebra

´ TEMA 3: APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACION.
JUAN MANUEL URBANO BLANCO

1

2

JUAN MANUEL URBANO BLANCO

1. 1.1.

Aplicaciones Lineales

Definici´n, propiedades b´sicas y ejemplos. o a

Definici´n 1. Dados dos espacios vectoriales V y V sobre un mismo cuerpo K, una o aplicaci´n f : V → V se dice que es una aplicaci´n lineal u homomorfismo de o o espacios vectoriales si paracualesquiera dos vectores u, v ∈ V y para todo escalar λ ∈ K, se verifica 1. f (u + v) = f (u) + f (v), 2. f (λu) = λf (u). Cuando V = V se dice que f es un endomorfismo de espacios vectoriales. Las dos condiciones de la definici´n anterior se pueden sintetizar en una sola. Con la o notaci´n anterior, f es una aplicaci´n lineal si y s´lo si o o o ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ K, f (λu + µv) = λf (u) + µf (v). Apartir de la definici´n de aplicaci´n lineal se deducen las siguientes propiedades inmeo o diatas: → − → − f( 0 V ) = 0 V f (−u) = −f (u) f(
k i=1

λi v i ) =

k i=1

λi f (vi )

N´tese que la tercera propiedad anterior nos dice que bajo una aplicaci´n lineal, la o o imagen de una combinaci´n lineal de vectores es igual a la combinaci´n lineal o o de las im´genes de cada uno de ellos. aEjemplos 2. → − 1. Para un espacio vectorial V , la aplicaci´n nula f : V → V definida por f (v) = 0 o para todo v ∈ V , es una aplicaci´n lineal. o 2. Toda aplicaci´n f : R → R de la forma f (x) = a · x, siendo a ∈ R, es una aplicaci´n o o lineal. 3. La aplicaci´n f : R → R definida por f (x) = x2 no es lineal ya que existen elementos o x1 , x2 ∈ R tales que f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ). 4. Laaplicaci´n tr : Mn (K) → K que hace corresponder a cada matriz cuadrada o su traza (es decir, la suma de todos los elementos que aparecen en la diagonal principal), es una aplicaci´n lineal. o 5. La aplicaci´n det : Mn (K) → K que hace corresponder a cada matriz cuadrada o su determinante, no es lineal, pues como sabemos del Tema 3, en general el determinante de la suma de dos matrices no tiene porqu´ ser igual a la suma de los e respectivos determinantes.

´ TEMA 3: APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACION.

3

6. La aplicaci´n f : R3 → R2 definida por f (x, y, z) = (3x + y, y − 4z) es lineal, pues o f (x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = f (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) = (3(x1 + x2 ) + (y1 + y2 ), (y1 + y2 ) − 4(z1 + z2 )) = (3x1 + y1 , y1 − 4z1 ) + (3x2 + y2 , y2 − 4z2 ) = f (x1 , y1 ,z1 ) + f (x2 , y2 , z2 ), y f λ(x, y, z) = f (λx, λy, λz) = (3λx + λy, λy − 4λz) = λ(3x + y, y − 4z) = λf (x, y, z). 3 2 7. La aplicaci´n f : R → R definida por f (x, y, z) = (3x + y, y − 4z + 2) no es lineal. o Basta observar que f (0, 0, 0) = (0, 2) = (0, 0), es decir, el vector cero del primer espacio no se transforma en el vector cero del segundo espacio. 8. La aplicaci´n f : R3 → R2 definidapor f (x, y, z) = (x + y 2 , y − z) tampoco es o lineal. Por ejemplo, tomando u = v = (0, 1, 0) se puede comprobar f´cilmente que a f (u+v) = f (u)+f (v). Obs´rvese que en este caso s´ se cumple que f (0, 0, 0) = (0, 0). e ı 9. La aplicaci´n f : K[x] → K[x] que a cada polinomio le hace corresponder su o derivada, es lineal. Recu´rdense las reglas de derivaci´n de funciones derivables: ‘la e oderivada de la suma es la suma de las derivadas’ y ‘la derivada del producto de una constante por una funci´n es la constante por la derivada de la funci´n’. o o Comentario 3. En los ejemplos t´ ıpicos de aplicaciones lineales f entre espacios vectoriales n m de la forma V = K y V = K , se observa que f (x1 , . . . , xn ) ha de ser una m-upla cuyas componentes son combinaciones lineales de las variablesx1 , . . . , xn con coeficientes en K. ´ Esto es lo que ocurre en los apartados (2) y (6) del ejemplo anterior. En el apartado (7), donde f (x, y, z) = (3x + y, y − 4z + 2), ´so no se cumple, pues el t´rmino y − 4z + 2 no e e es combinaci´n lineal de x, y, z debido al sumando 2 que aparece al final. En el apartado o (8), donde f (x, y, z) = (x + y 2 , y − z), tampoco se verifica dicha propiedad...