Algebra

´ ELEMENTOS DE LOGICA ´ Y TEORIA DE CONJUNTOS Dra. Patricia Kisbye Dr. Alejandro L. Tiraboschi

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´ INTRODUCCION Estas notas han sido elaboradas con el objetivo de ofrecer al ingresante a las carreras de la FaMAF un curso introductorio a la l´ gica elemental y teor´a de conjuntos. Los temas abarcados o ı son, a grandes rasgos, nociones b´ sicas de conjuntos, operaciones entre conjuntos yproducto a cartesiano; proposiciones, conectivos l´ gicos y cuantificadores. Gran parte de los contenidos y o ejercicios han sido extra´dos de los primeros cap´tulos de nuestras notas Elementos de L´ gica y ı ı o Computaci´ n, Trabajos de Inform´ tica, No. 1/99. o a Cada cap´tulo contiene un desarrollo te´ rico, variados ejemplos y una completa lista de ı o ejercicios de aplicaci´ n. o AlejandroTiraboschi. Patricia Kisbye.

´ Indice general
´ ´ Cap´tulo 1. TEORIA BASICA DE CONJUNTOS ı 1. Conjuntos y pertenencia 2. Subconjuntos 3. Ejercicios Cap´tulo 2. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ı 1. La uni´ n de conjuntos o 2. La intersecci´ n o 3. Complemento de un conjunto 4. Diferencia 5. Ejercicios Cap´tulo 3. PRODUCTO CARTESIANO ı 1. Pares ordenados y producto cartesiano 2. Representaci´ n enejes cartesianos o 3. Ejercicios ´ Cap´tulo 4. LOGICA ı 1. Proposiciones 2. Conectivos l´ gicos o 3. Negaci´ n o 4. Conjunci´ n o 5. Disyunci´ n o 6. Los conectivos y las operaciones entre conjuntos 7. Propiedades de la conjunci´ n y la disyunci´ n o o 8. Ejercicios Cap´tulo 5. CUANTIFICADORES ı 1. Funciones proposicionales
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7 7 9 15 19 19 20 22 23 25 27 27 28 32 35 35 36 36 38 38 39 39 40 4343

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´ INDICE GENERAL

2. 3. 4.

Cuantificadores Negaci´ n de cuantificadores o Ejercicios

44 45 46 49 49 50 51 52 53

Cap´tulo 6. OTROS CONECTIVOS ı 1. 2. 3. 4. 5. Condicional o implicaci´ n o Bicondicional o doble implicaci´ n o Argumentos y demostraciones Combinaci´ n de proposiciones con conectivos l´ gicos o o Ejercicios

CAP´TULO 1 ı

´ ´ TEORIA BASICA DE CONJUNTOSCualquier colecci´ n de objetos o individuos se denomina conjunto. El t´ rmino conjunto no o e tiene una definici´ n matem´ tica, sino que es un concepto primitivo. Ejemplos de conjuntos son o a el conjunto de los n´ meros naturales, de los televisores de la ciudad de C´ rdoba y de los peces u o en los oc´ anos. Nuestro objetivo ser´ estudiar aquellos conjuntos que est´ n relacionados con el e a a campode la matem´ tica, especialmente los conjuntos num´ ricos. La teor´a de conjuntos es funa e ı damental en matem´ tica y de suma importancia en inform´ tica, donde encuentra aplicaciones a a en areas tales como inteligencia artificial, bases de datos y lenguajes de programaci´ n. ´ o

1.

Conjuntos y pertenencia

Un conjunto es una colecci´ n de elementos diferentes. Los objetos que integran unconjunto o se llaman elementos de ese conjunto. Ejemplos de conjuntos son los siguientes: El conjunto de los n´ meros enteros. u El conjunto de los n´ meros naturales mayores que 5 y menores que 9. u El conjunto formado por los estudiantes de primer a˜ o de la Fa.M.A.F. n El conjunto formado por un punto P en el plano y las rectas que pasan por el. ´ En general usaremos letras may´ sculas paradesignar a los conjuntos y letras min´ sculas u u pertenece a A o a es un elemento de A. Si a no es un elemento del conjunto A se escribe a ∈ A para designar a sus elementos. Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A y se lee a

y se lee a no pertenece a A o a no es elemento de A. Los s´mbolos N, Z, Q y R servir´ n para ı a denotar a los siguientes conjuntos: N: el conjunto de los n´meros naturales. u Z: el conjunto de los n´ meros enteros. u Q: el conjunto de los n´ meros racionales. u R: el conjunto de los n´ meros reales. u
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1. TEOR´ BASICA DE CONJUNTOS IA ´

Definir un conjunto es describir de una manera precisa, sin ambig¨ edades, cu´ les son los u a elementos de dicho conjunto. Existen distintas maneras de definir un conjunto. La forma m´ s a simple, pero...