Algebra

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Lógica Matemática.
1) Proposición: Es toda oración de la cual puede decirse si es verdadera o falsa.
Ejemplo:
a) ¿Quién viene?
b) Deténgase
c) El calor dilata los cuerpos.
d) 4 es un número impar.
e) Juan ama la música.
f) La música es amada por Juan.
Se trata de 6 oraciones diferentes, una interrogativa, una orden y cuatro declarativas. De las dos primeras no podemosdecir que sean verdaderas ni falsas; una pregunta puede formularse o no. En cambio, de las cuatro ultimas que son declarativas, tiene sentido decir si son verdaderas o falsas y a estas las llamamos proposiciones.
2) Notaciones y Conectivos
Notaciones: Notaciones algebraicas son aquellas en la que involucras variables y constantes y un término algebraico es cuando involucras una variable como 2Xo 10-X.
Conectivos: Los conectivos lógicos son los signos como +,=,-, etc.
y las preposiciones son en algebra los números que no varían, o sea, un numero en una ecuación con letras. Las proposiciones genéricas son denotadas con las letras p,q,r,s, etc. Es decir, se puede operar con proposiciones, y según sean tales operaciones se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos.Conectivos Operación Asociada Significado
~ Negación nop no es cierto que p.
٨ Conjunción o producción lógica p y q
٧ Disyunción o suma lógica p o q (en sentido incluyente)
→ Implicación p implica q, o si p entonces q
↔ Doble implicación p si y solo si q
v Diferencia simétrica p o q en sentido excluyente
Tabla 1
3) Operaciones Proposicionales
Operadores básicos: Los operadores lógicos másbásicos son la conjunción, la disyunción, y la negación. Sean p y q dos proposiciones
Operación Notación Se lee
Negación
no p
Conjunción
p y q
Disyunción
p ó q
Tabla 2
Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.
Implicación
Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es laimplicación. Se escribe o como abreviatura de . La declaración "p implica q" es falsa siempre que p sea verdad pero no necesariamente q.
Si y , se escribe , que se lee "p implica y es implicada por q", o bien "p si y sólo si q".
Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y engeneral en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana.

Por ejemplo:

Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.

Conjunción: |Salgo tarde no tengo vehículo llegaré tarde al trabajo.

Si decimos Aquí no hay nadie y aplicamos literalmente la doble negación expresada en nuestro hablar cotidiano entonces podríamosasegurar que Aquí hay alguien.
Negación: | hay nadie Aquí hay alguien

Viajo en bus o viajo en mi auto, no las dos cosas a la vez.
Disyunción: viajo en bus viajo en mi auto o lo uno o lo otro
Si mi empresa no produce nada quiere decir que mi empresa 'produce algo'.
Negación: | produce nada Produce algo.
Doble implicación o Biocondicional: Se define como la conjunción de una implicacióny su reciproca. Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ↔ q (p si solo si q), cuya tabla de valores de verdad es:
p q p ↔ q
v v v
v f f
f v f
f f v
Tabla 3
La doble implicación o bioncondicional solo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. De este modo la tabla de valores de p↔q puede obtenerse mediante la tabla de (p↔q) ۸ (q↔p), comosigue:
p q p↔q q↔p (p↔q) ۸ (q↔p)
v v v v v
v f f v f
f v v f f
f f v v v
Tabla 4
Diferencia Simétrica: Diferencia simétrica o disyunción excluyente de las proposiciones p y q es la proposición pv (p o q, en sentido excluyente) cuya tabla de valores de verdad es.
p q p v q
v v v
v f f
f v v
f f v
Tabla 5.
La verdad de p v q esta caracterizada por la verdad de una y solo una de...