Algebra

Introducci´n o
“Saber es poder comprender es tolerar” La idea que me motiva a escribir estas notas esta sustentada en la firme creencia que, “una condici´n necesaria y suficiente para que en alg´n instante se produzca aprendizaje de algo es o u que, la intersecci´n entre los deseos de ense˜ar del que ense˜a, y los deseos de aprender del que o n n aprende, sea no vac´ ıa.” Lo anterior es conseguridad una muy dif´ tarea, no obstante poseo la esperanza que estas ıcil notas ayudar´n en parte, a generar la motivaci´n en los actores para que ingresen a esa ”ina o tersecci´n.” Por esto espero que con estos apuntes se consiga al menos alguno de los siguientes o objetivos. ´ Dar informaci´n introductoria y b´sica a los estudiantes de un primer curso de Algebra. o a Servir de hilo conductor paraque los estudiantes recorran las primeras ideas algebraicas hasta llegar a las bases del algebra Lineal, y puedan posteriormente reflexionar, respecto de las ilimitadas aplicaciones que esta disciplina posee. Generar un ambiente de di´logo permanente, entre el Profesor y el Estudiante del cual se a concluya al menos que, “lo abstracto deja de serlo cuando se hace tangible en la mente, y se plasma atrav´s de la mano.” e Motivar al estudiante a profundizar d´ a d´ cada uno de los t´picos discutidos en clases, ıa ıa, o usando la bibliograf´ de apoyo sugerida por su profesor, para que se concreten y conecten la ıa teor´ y la pr´ctica. ıa a Motivar al profesor, para que complemente estas notas, d´ndoles la contundencia y versatila idad necesaria para mantener vivo en el estudiante su inter´s porla asignatura. e Estas notas est´n distribuidas en dos tomos, en el primero de ellos se hace ´nfasis en estruca e turas algebraicas y en el segundo abordamos definitivamente temas de algebra lineal y algunas ´ de sus aplicaciones m´s frecuentes. a Deseo enfatizar que desde hoy estas notas estar´n en constante revisi´n con el unico objetivo a o ´ de mejorar y as´ llegar a ser alguna vez, unrazonable material de apoyo, para la ense˜anza y ı n aprendizaje de esta disciplina. Este primer trabajo se realiz´ en el marco del proyecto de docencia “Construcci´n de un o o ´ libro de Algebra para el primer a˜ o de Ingenier´ Civil ” con el apoyo y financiamiento n ıa de la Vicerrector´ de Docencia y Extensi´n. ıa o Finalmente debo agradecer el inestimable trabajo de la Profesora Gabriela Pe˜ailillo,quien n con esmero y dedicaci´n corrigi´ y adem´s propuso ideas en la construcci´n de estas notas. o o a o

Ricardo Santander Baeza

CAPITULO 1

Preliminares sobre Sistemas de Ecuaciones.
1. Objetivos (1) Que el Estudiante este en condiciones de generalizar las t´cnicas para resolver sistemas e de ecuaciones desarrolladas en sus estudios de Ensa˜anza Media. n 1.1. Motivaci´n. o (1)Consideremos el sistema lineal de dos ecuaciones y dos inc´gnitas: o (1) a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2 (2) El sistema ( 1) puede ser escrito en forma matricial como sigue: (2) a11 a12 a21 a22
A

x1 x2
X

=

b1 b2
B

(3) Probablemente una de las primeras cuestiones que observamos es que un sistema como ( 1) o como ( 2), no tienen porque tener dos ecuaciones y tampoco dos inc´gnitas, oes decir podemos tener en un arreglo como n ecuaciones y m ”inc´gnitas”. As´ que o ı podemos hacer nuestra primera ”definici´n dupla” o Definici´n 1.1.1. o Llamaremos Sistema Lineal de n-ecuaciones y m-inc´gnitas a una expresi´n del tipo: o o

(3)

a11 x1 a21 x1 . . .

+ a12 x2 + a22 x2 . . + .

+ ... + ... . + . .

+ a1m xm + a2m xm . . + .

= b1 = b2 . = . .

an1 x1 + an2 x2 + . . .+ anm xm = bn

Equivalentemente llamaremos notaci´n matricial de ( 3) a la ecuaci´n matricial: o o      a11 a21 . . . a12 a22 . . .
A

(4)

... ... . . .

a1m a2m . . . anm

    

x1 x2 . . . xm
X



an1 an2 . . .

    =  



b1 b2 . . . bn
B

    

En fin, de ahora en adelante nos referiremos a un sistema lineal gen´rico poniendo e...