Algebra

Conceptos básicos

Representación gráfica de la suma de dos vectores en .
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial(conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso.
Los objetosbásicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial .
Así, por ejemplo, el vector(4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de . En particular, corresponde a un plano cartesiano XY y es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadasXYZ.
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
El producto por un escalar en sigue la regla:

Lainterpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si es mayor o menor de 1), junto con una posibleinversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si es mayor o menor de 0).
Las funciones de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacenlas dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par de vectores y todo escalar :

Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales yen el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio que son las matrices de números reales de tamaño .
El álgebra lineal estudiaentonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una...