Algebra

Interpretación geométrica del triple producto escalar (p. 258)
prisma rectangular

Tres vectores u, v y w que no están en el mismo plano, determinan un paralelepípedo en R3. h es la componente de w en la dirección de u x v recordar que: la componente de un vector u en la dirección de otro vector v está dada por: Entonces:

Como volumen de un paralelepípedo es: área de la base por altura:Volumen Luego:
Volumen =
Volumen es igual al valor absoluto del triple producto escalar de los vectores u, v y w.

Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

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Ejemplo: 1) Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u, v y w.

Solución: primero encontrar el producto cruz u x v:

Luego el valor absoluto del triple producto escalar:

Nota: también se puede calcular elvolumen mediante el valor absoluto del determinante de la matriz que forman los tres vectores:
unidades cúbicas

Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

2

Ejemplo: 2) Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u, v y w.

Solución: primero encontrar el producto cruz u x v:

unidades cúbicas

Luego el valor absoluto del triple producto escalar:

Volumen obtenidopor el valor absoluto del determinante de la matriz:

unidades cúbicas Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez 3

Ejemplo: → → → 3) Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores PQ , PR y PS, donde :

Solución: primero encontrar los vectores u, v y w

Luego encontrar el producto cruz u x v:

Finalmente el volumen es igual al valor absoluto del triple producto escalar:unidades cúbicas Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez 4

Ejemplo: → → → 4) Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores PQ , PR y PS, donde :

Solución: primero encontrar los vectores u, v y w

Luego encontrar el producto cruz u x v:

Finalmente el volumen es igual al valor absoluto del triple producto escalar:

unidades cúbicas Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez 53.5 Rectas y planos en el espacio. (p. 263)
En R2 se puede encontrar la ecuación de una recta si se conocen dos puntos sobre la recta, o bien, un punto y la pendiente de la recta. En R3 estas ideas básicas son las mismas. Sean los puntos Dos puntos sobre una recta L.

Un vector paralelo a L es aquel con representación PQ = v, entonces:
vector v paralelo a la recta L

→

Si

es otro puntoque también pertenece a L, entonces el vector PR

→

es paralelo al vector v, entonces por el teorema 3.3.3 p.250:

(2)

Donde t es cualquier número real

Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

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Al dibujar los puntos anteriores, se dan los 3 casos siguientes:

En cada uno de los tres casos posibles se tiene que:

(3)
Al sustituir (2) en (3) se tiene que:

(4)

Ecuaciónvectorial de la recta L

Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

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Si se extienden las componentes de la ecuación (4) se obtiene:

O sea que:

(5)

Ecuaciones paramétricas de la recta L, donde t es el parámetro.

Al despejar t de la ecuación (5) y definir:

Se encuentra que si a, b y c son ≠ 0:
Ecuaciones simétricas de la recta L.

(6)
a, b y c son números directores de v. Lasecuaciones de (6) son válidas sólo si a, b y c son ≠ 0
Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez 8

Ejemplo: 1) Encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta que contiene a los puntos P y Q.

Solución:

Recordar que:
Ecuaciones vectoriales

Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones simétricas

despejando t de las paramétricas:

Ing. Octavio Roberto PuacÁlvarez

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Ejemplo: 2) Encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta que contiene a los puntos P y Q.

Solución:

Recordar que:
Ecuaciones vectoriales

Ecuaciones paramétricas Ecuaciones simétricas

Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

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Ejemplo: 3) Encuentre las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta que contiene a los...