Algebra

1. MATRICES
1.1. CONCEPTO DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden  "m × n"   a un conjunto rectangular de elementos  aij  dispuestos en   m  filas y en  n  columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo  m  y  n  númerosnaturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe la fila  i  y la columna  j   se escribe  aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (aij)
Ejemplos:A3x3=a1x1a1x2a1x3a2x1a2x2a2x3a3x1a3x2a3x3,m=n, An, A ∈Mn
B1x3=b1x1b1x2b1x3
Anxn=a1x1a1x2a1x3a2x1a2x2a2x3a3x1a3x2a3x3⋯a1xna2xna3xn⋮⋱⋮anx1anx2anx3⋯anxn
1.2. DIAGONAL DE UNA MATRIZ
En álgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situados desde a1x1 hasta anxn.
Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha: a1x1, a2x2, a3x3.... anxn.A3x3=a1x1a1x2a1x3a2x1a2x2a2x3a3x1a3x2a3x3
Los elementos de la diagonal de la matriz A son: a1x1, a2x2, a3x3

1.3. CLASES DE MATRICES
Tipo de matriz | Definición | Ejemplo |
   FILA | Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden  1×n | A1x3=72-5 |
   COLUMNA | Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  m×1 | A3x1=-716
|
   RECTANGULAR | Aquella matriz que tienedistinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n , m≠n | A3x4=132957-180351 |
   TRASPUESTA | Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Se representa por  At  ó  AT | Si es A=aijmxn, su transpuesta es At=ajinxm,A=1253-47, At=132-457 |
   OPUESTA | La matriz opuesta de una dada es la queresulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A  es   -A. | A=135-7-64, -A=-1-3-576-4 |
   NULA | Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por Amxn=(0) | A3x3=000000000 |
   CUADRADA | Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.
Diagonal principal : son los elementos  a11 ,a22 , ..., ann  
Diagonal secundaria :  son los elementos  aij con   i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A. | A3x3=19-6201-245
Diagonal principal : 
Diagonal secundaria :  |
SIMÉTRICA | Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
A = At  , aij = aji   | |
ANTISIMÉTRICA | Es una matriz cuadrada que es igual a la opuestade su traspuesta.
A = -At  , aij = -aji   
Necesariamente  aii = 0   | A3x3= 09-6901-610 |
DIAGONAL | Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal | A=70005000-2 |
ESCALAR | Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales | A=700070007 |
IDENTIDAD | Es una matriz cuadrada quetiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1.Tambien se denomina matriz unidad. | I=100010001 |
TRIANGULAR | Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos. | A=13504-1009 A=100540287 T. superior T. inferior |
IDEMPOTENTE | Una matriz A es idempotente si:A2=A |I=I2In=I |
ORTOGONAL | Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT 
La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.
El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.
El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1. | A*At=At*A=Ia1a2a3b1b2b3c1c2c3*a1b1c1a2b2c2a3b3c3=100010001 |
NORMAL | Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta....