Algebra

ALGEBRA 2do parcial
Matrices idempotentes y ortogonales
Idempotente: matriz cuadrada que al multiplicar consigo misma siempre se obtiene como Rdo. la misma matriz: A=A2=A3=…An=A
Ortogonal: matriz cuadrada que al pre o post multiplicarla por su traspuesta se obtiene la matriz identidad: A’ x A = A x A’ = I

determinante inversa y rango
Determinante de matriz cuadrada A: (|A|) numero realasociado a la misma que cumple ciertas funciones. Aplicación o función que le hace corresponder a todas las matrices cuadradas, un número real, motivo por el cual suele decirse que se trata de función determinante: Rnxn→R
Orden de un determinante: dado por el orden de la matriz cuadrada a la que se encuentra asociado. (Orden de la matriz A 2x2: orden determinante: 2)

calculo de un determinanteDeterminante de orden 2: producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal segundaria: A2x2 = |A|= a11.a22 - a12.a21
Determinante de orden 3: Regla de Sarrus: producto de los elementos de la diagonal principal mas el producto de los elementos de una paralela a la diagonal principal por su vértice opuesto, mas el producto de los elementos dela otra paralela a la diagonal principal por su vértice opuesto, menos el producto de los elementos de la diagonal segundaria, menos el producto de los elementos de una paralela diagonal segundaria por su vértice opuesto menos el producto de los elementos de la otra paralela a la diagonal secundaria por su vértice opuesto.
A3x3=a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – a13a22a31 – a21a12a33 – a32a23a11Obs.:
El numero de términos en el desarrollo del calculo del determinante depende del orden del mismo: Orden D: 2 Numero de términos: 2=2!
En cada término aparece un elemento de cada fila y un elemento de cada columna

Menor complementario de un elemento de un determinante: dado |A|, el menor complementario de un elemento aij, denotado con αij, es otro determinante de orden inferior enuna unidad respecto al determinante original, resultante de eliminar la fila y la columna en donde se encuentra ubicado el elemento aij. |A|= Aij=αij
Adjunto o cofactor de un elemento de un determinante: dado |A|, el adjunto o cofactor de un elemento aij, denotado con αij, es el polinomio por el que queda multiplicado el elemento al extraérselo como factor común de todos los términos que locontienen, en el desarrollo del calculo de ese determinante. Si se tiene una matriz cuadrada de orden 3 se calcula el determinante c R de Sarros y se saca factor común.
Relación entre el menor complementario y adjunto: Aij= (-1)i+j αij : i+j= Nº par  Aij=αij
i+j= Nº impar  Aij= -αij
Adjunta de una matriz: (Adj. A) otra matriz cuadrada del mismo orden resultante de trasponer a la matriz formadapor los adjuntos o cofactores de cada elemento de A, denominada matriz de los adjuntos de A. (pasar columna a fila)

inversa de una matriz
Definición: (A-1) otra matriz cuadrada del mismo orden, tal que pre o post multiplicada por la matriz original, reproduce la matriz identidad: si A  RnxnAxA-1= A-1xA= I
Si admite inversa se dirá que la misma es inversible o regular, mientras que si no sedirá que no es inversible o que es singular.

metodos de cálculo de la inversa de una matriz
Método de los adjuntos: aplicación de la formula:
Calcular el determinante, si es =0 matriz no es regular o no es inversible, y no se puede seguir. Si es 0 sigo
Obtener matriz de los Adj. de A: Aij= (-1)i+j αij
Obtener Adj. A trasponiendo la matriz de los adjuntos antes obtenida: Adj. A=(matriz de los Adj. d A)’
Aplico fórmula. Verifico AxA-1=I
Método de Gauss Jordan: disponer la matriz a invertir y la identidad del mismo orden en una tabla de la forma: C: control
Transformar en vectores unitarios a las columnas ubicados en el sector A del cuadrado, mediante operaciones elementales únicamente en filas, para lo cual debe elegirse un elemento como pivote que debe ser el 1,...