Algebra

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Álgebra Booleana
Es un sistema algebraico cerrado formado por un conjunto K de dos o más elementos (en este caso, asumiremos que A = {0,1}); los dos operadores binarios AND (el resultado es 1 si los operandos son 1) y OR (el resultado es 1 si alguno de los operandos es 1), conocidos también como producto lógico (·) y suma lógica (+) respectivamente; y el operador unario NOT (el resultado es lainversión o negación del operando, es decir, si el operando es 1 y viceversa) denominado negación lógica (¬ o ’).. Los símbolos elementales del álgebra de boole son:
· 0: representativo de FALSO
· 1: representativo de VERDADERO
Las operaciones fundamentales son:
. Conjunción u operación AND  (se representa con   ·  )
· Disyunción u operación OR (se representa con + )
· Complementación,Negación u operación NOT ( se representa con una barra sobre la variable, )
Postulados:
Los postulados para las tres operaciones básicas, AND, OR Y NOT, son suficientes para deducir cualquier relación booleana.
OR | AND | NOT |
0 + 0 = 00 + 1 = 1 | 0 . 0 = 00 . 1 = 0 |
|
1 + 0 = 1 | 1 . 0 = 0 | |
1 + 1 = 1 | 1 . 1 = 1 | |

Teoremas:
Regla del cero y la unidadX + 0 = X
X + 1 = 1 | X· 1 = X
X · 0 = 0 |
Idempotencia o potencias igualesX + X = X | X · X = X |
ComplementaciónX + = 1 | X · = 0 |
Involución | |
ConmutatividadX + Y = Y + X | X ·  Y = Y  · X    |
AsociatividadX + (Y + Z) = (X + Y) + Z | X ·  (Y  · Z) = (X  · Y)  · Z   |
DistribuitividadX + (Y · Z) = (X + Y) · (X + Z) | X · (Y + Z) = (X · Y) + (X · Z) |
AbsorciónX · (X + Y)= X
X · ( + Y)= X·Y
·(X + Y)= ·Y
(X + Y) · (X +)= X | X +  X·Y = X
X + ·Y = X + Y
  +  X·Y = + Y
X·Y + X·= X |
Teoremas de De Morgan | |

Funciones de Conmutación
En los sistemas digitales sólo dos situaciones tienen interés, conducción o corte de los transistores. A cada uno de estos estados se le puede asignar una variable lógica y desarrollar un Álgebra de Boole (álgebra de conmutación) que nospermite el análisis y diseño de circuitos lógicos de conmutación.Esta representado por diferentes símbolos llamados variables, cada uno representa un 0 o un 1.
Sean x1, x2, … , xn símbolos llamados variables,cada uno representa un 0 o un 1, definiremos f(x1,x2,…,xn) como una función de conmutación de x1, x2, … , xn. f puede tomar el valor de 0 ó 1 según los valores para x1, x2, … , xn; si existen nvariables (xi), entonces existe 2n formas de asignar los valores para x1, x2, … , xn y como f tiene dos posibles valores, existen 22n diferentes funciones para n variables. Ejemplo:
* 16 Funciones de 2 Variables
A B | f0 | f1 | f2 | f3 | f4 | f5 | f6 | f7 | f8 | f9 | f10 | f11 | f12 | f13 | f14 | f15 |
0 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 1 | 0 | 0 | 1| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |

f0(A, B) = 0f1(A, B) = A’B’f2(A, B) = A’Bf3(A, B) = A’B + A’B’ = Af4(A, B) = AB’f5(A, B) = AB’ + A’B’ =B’f6(A, B) = AB’ + A’Bf7(A, B) = AB’ + A’B + A’B’ = A’ + B’ | f8(A, B) = ABf9(A, B) = AB +A’B’f10(A, B) = AB + A’B = Bf11(A, B) = AB + A’B + A’B’ = A’ + Bf12(A, B) = AB + AB’ = Af13(A, B) = AB + AB’ + A’B’ = A + B’f14(A, B) = AB + AB’ +A’B = A + Bf15(A, B) = AB + AB’ + A’B + A’B’ = 1 |

Tablas de Verdad
ab | f(a,b)=a+b | ab | f(a,b)=ab | a | f(a)=a' |
00011011 | 0111 | 00011011 | 0001 | 01 | 10 |

Formas Algebraicas
* SOP (Suma de Productos): se construye al sumar (or) términosproductos (and). Es decir; Las funciones de conmutación en la forma suma de productos se construyen al sumar términos producto, donde cada término producto se forma mediante el producto lógico de variables complementadas o sin complementar.
• Ejemplo:
F(A, B, C, D) = A·B’·C + B·D’ + A’·C·D’
* POS (Producto de Sumas): se construye con el producto (and) de términos suma (or). Es decir;...
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