Algebra

6.1 Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada.

OBJETIVO:
Definir el concepto de valor característico y vector característico de una matriz .

Introducción
En este apartado se definirá los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada, por lo que una dimensión puede representarse por medio de matrices, lo que se trata de encontrar son ecuaciones,relacionados con un sistema grafico.

Sea una transformación lineal. En diversas aplicaciones (una de las cuales se da en la siguiente sección) resulta útil encontrar un vector en tal que y son paralelos. Es decir, se busca un vector y un escalar tal que:

Si y satisface (1), entonces se denomina un valor característico de y un vector característico de correspondiente alvalor característico . El propósito de este capítulo es investigar las propiedades de los valores característicos y vectores característicos. Si tiene dimensión finita, entonces se puede representar por una matriz .Por esta razón se estudiaran los valores característicos de las matrices de .

1
Definición
Valor característico y vector característico.

Sea una matriz de con componentesreales. El número (real o complejo) se denomina valor característico de si existe un vector diferente de cero en Cn tal que.

El vector se denomina vector característico de correspondiente al valor característico .
Nota. Los valores y vectores característicos también se denominan valores y vectores propios o eigenvalores y eigenvectores: la palabra “eigen” es una palabra alemana para “propio”.|
EJEMPLO 1

Sea Entonces Así es un valor característico de con el correspondiente vector característico. De manera similar.,de modo que es un valor característico de con el correspondiente vector característico .como se verá enseguida, éstos son los únicos valores característicos de .
EJEMPLO 2

Ejemplo 2.
Valores característicos y vectores característicos de la matriz identidad.Sea, entonces para cualquier Cn, Así, es el único valor característico de y todo Cn es un vector característico de I.

Se calcularán los valores y vectores característicos de múltiples matrices en esta sección. Pero primero es necesario probar algunas técnicas que simplificaran estos cálculos.
Suponga que es un valor característico de . Entonces existe un vector diferente de cero
Tal que. Reescribiendo esto se obtiene:

(Ecuación 3)
1
Si A es una matriz de , la ecuación (3) corresponde a un sistema homogéneo de ecuaciones con las incógnitas . Como se ha supuesto que el sistema cuenta con soluciones no triviales, se concluye de det . De forma inversa si det entonces la ecuación (3) tiene soluciones no triviales y es el valor característico de . Por otro lado, si det ,entonces la única solución a (3) es de manera que no es un valor característico de.Resumiendo estos hechos, se tiene el siguiente teorema.
Sea A una matriz de. Entonces es un valor característico de sí y solo si

Teorema.

Conclusión:
Sea una matriz cuadrada si le aplicamos la formulaposteriormente le extremos su determinante obtenemos la ecuación característica. Al factorizar obtenemos los valores característicos.











6.2 Polinomio y ecuación característica.

Objetivo:
Encontrar valores característicos resolviendo su ecuación característica.

Introducción
2
Las ecuaciones algebraicas al término matricial l, los valorescaracterísticos son los valores asociados con una ecuación ya sea de dos o tres incógnitas.
Definición
La ecuación (4) se denomina la ecuación característica de se denomina el polinomio característico de .

Como será evidente en los ejemplos, es un polinomio de grado en . Por ejemplo, si entonces y
De acuerdo con el teorema fundamental del algebra, cualquier polinomio de grado con...