Algebra

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ALGEBRA, LÓGICA y COMPUTADORAS

Las décadas del 50 y 60 fueron el escenario de una "trascendente batalla" entre fabricantes de computadoras digitales y de computadoras analógicas con el rotundo triunfo de los primeros. El motivo que definió la contienda fue que las computadoras digitales y la lógica compartían los mismos conceptosbásicos.

Si bien Aristóteles fue uno de los primeros en definir rigurosamente al silogismo, no quedan dudas respecto a que Leibniz fue el padre de la lógica simbólica moderna. Él estableció la idea de la lógica bivaluada y la noción cosmológica de 1 y 0 (la sustancia y la nada). Leibniz no tenía siquiera 20 años cuando formuló su sistema lógico y si bien intentó darle alguna utilidad, como tantosotros precursores, solamente sentó las bases para que otros continuaran su trabajo.

Doscientos años después, Sir William Hamilton (lógicamente, un inglés) comenzó a refinar los viejos silogismos y su trabajo fue denominado "la cuantificación de los predicados". El siguiente paso lo dio otro inglés, Augustus de Morgan, quien pasó de cuantificar los predicados a la formación de 32 reglas oproposiciones resultantes. Todo estaba listo para el "gran salto", el cual fue realizado por George Boole, creador del álgebra denominada, lógicamente, booleana.

Boole publicó en 1854 un trabajo denominado "Una investigación de las leyes del pensamiento en la cual se basan las teorías matemáticas de la Lógica y la Probabilidad". Las conclusiones del trabajo no inquietaron al mundillo científico de laépoca, quien las consideró sólo de interés académico, y debieron transcurrir más de cincuenta años para que la obra de Boole comenzara a rendir frutos.

El reconocimiento le llegó a Boole a través de la obra cumbre del gran filósofo Bertrand Russell: Principia Mathematica, escrito en colaboración con Alfred North Whitehead en 1910. En el mismo, los autores reconocen la trascendencia del trabajo deBoole, a partir de lo cual se suceden las investigaciones en el campo de la lógica simbólica y es así que dos renombrados matemáticos de la época, Hilbert yAckerman, publican en 1928 el primer libro del nuevo álgebra bajo el título original de "Mathematical Logic".

El álgebra de Boole puede analizarse a través de las "Tablas de Verdad", tal como se muestra a continuación para los operadoresbooleanos de conjunción y de disjunción:

Conjunción-------- A---- B---- C
A y B igual C-------0---- 0---- 0
A AND B = C -------1---- 0---- 0
---------------------0---- 1---- 0
---------------------1---- 1---- 1

Disjunción ---------A---- B----C
A ó B igual C ------0---- 0---- 0
A OR B = C --------1---- 0---- 1
---------------------0---- 1---- 1
---------------------1---- 1---- 1

En lasTablas de Verdad, el 1 simboliza verdadero mientras que el 0 simboliza falso. En la operación de conjunción (AND), sólo si A y B son verdaderos resulta C verdadero; en la operación de disjunción (OR), C es verdadero si A ó B lo son. A partir de estas simples premisas se desarrolla el álgebra de Boole y cuando los científicos y técnicos lo aplican en las computadoras se obtienen aparatos digitalesque no sólo realizan complejos y extensos cálculos matemáticos sino también operaciones lógicas, incluyendo la toma de decisiones sobre una base exclusivamente lógica.

Una analogía simple nos permitirá entender los principios de funcionamiento de los citados operadores booleanos: supongamos que tenemos que cruzar dos ríos y tenemos dos puentes en serie (uno a continuación del otro), sólopodremos llegar a destino (1, verdad) si ambos puentes están operativos; es el caso del operador AND. Si por el contrario tenemos sólo un río por cruzar y dos puentes en paralelo para hacerlo, podemos utilizar cualquiera de ellos y sólo bastará que al menos uno de ellos esté operativo para poder llegar a nuestros destino; es el equivalente del operador OR.

El álgebra booleana fue ampliada...
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