Algebra

ÁLGEBRA

Forma una ecuación cuadrática con coeficientes racionales de tal manera que una de sus raíces sea [pic].
(3 minutos)




Solución

La ecuación buscada es

[pic]







TRIGONOMETRÍA

Halla el valor numérico del seno de tangente inversa de [pic]. Es decir, el valor de[pic].
(4 minutos)



Solución
Sea [pic], entonces [pic]. De esta manera, basta formarun triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto al ángulo [pic] mida 4 unidades y el cateto adyacente mida 5 unidades.


















Luego, [pic]

Finalmente,
[pic]


ÁLGEBRA

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

[pic]
(5 minutos)


Solución
Como x no puede ser cero, despejando y en la primera ecuación se obtiene:
[pic]
Al sustituir en la segundaecuación queda:
[pic]
De aquí que:
[pic]
En consecuencia:
[pic]
Entonces:
[pic]

Como x y y deben ser del mismo signo, entonces las soluciones son:

[pic] o [pic]

TRIGONOMETRÍA

En un campo de fútbol la portería mide de poste a poste 7m. Un delantero se encuentra a 5m del poste más cercano y a 8m del poste más lejano. Calcula su ángulo de tiro.
(4 minutos)Solución

[pic]


De acuerdo con la figura, C es él ángulo de tiro.

Aplicando la Ley de los Cosenos:

[pic]
Por lo tanto



ÁLGEBRA

Si n es un entero positivo, calcula [pic].
(5 minutos)



Solución

Dado que
[pic]

se obtiene
[pic]
Por lo tanto,
[pic] [pic]


TRIGONOMETRÍA

Considera un cuadrado con vértices A, B, C y D, inscrito en una circunferenciacon centro O y radio 4cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?
(4 minutos)



Solución
Si trazamos dos radios a partir de dos vértices consecutivos, podemos observar que el triángulo que se genera con dichos vértices y el centro, es rectángulo. Por ejemplo, puede observarse en la figura de abajo que el (BOC es rectángulo en O, ya que para encontrar el ángulo central BOC, tenemos que:
[pic][pic]
Luego por el teorema de Pitágoras:
BC2 = 42 + 42
BC = 4[pic]

Por lo tanto, el perímetro es 16[pic]cm

ÁLGEBRA

Si [pic] y [pic] donde [pic] son números fijos, calcula [pic].
(5 minutos)



Solución

Se tiene que
[pic]

Luego
[pic]

Por lo tanto:
[pic]





GEOMETRÍA PLANA
En la siguiente figura, ABC es un triángulo cualquiera, donde M y Nson los puntos medios de AB y AC, respectivamente. Si el área del polígono MNCB es 6cm2, ¿cuánto mide el área del (ABC?
[pic]
(5 minutos)



Solución
Debido a que MN es paralelo a BC, los triángulos AMN y ABC son semejantes, entonces aplicamos a estos triángulos el siguiente teorema:

“En triángulos semejantes las áreas son entre sí, como los cuadrados de sus lados homólogoscualesquiera”. Luego:
[pic] (I)
Sea x= área ((AMN), entonces (I) es equivalente a:
[pic]

Por lo tanto, área ((ABC) = área ((AMN)+ área (MNCB) = 8cm2.
GEOMETRÍA PLANA
En la siguiente figura, ABC es un triángulo cualquiera, donde M y N son los puntos medios de AB y AC, respectivamente. Si el área del polígono MNCB es 6cm2, ¿cuánto mide el área del (ABC?
[pic]
(5 minutos)Otra solución
Sea
[pic]área ((AMN)
AQ: la altura bajada
desde A hasta BC

Por la semejanza de los triángulos AMN y ABC tenemos:
AQ= 2AP y BC= 2MN
área (ABC)= [pic](BC)(AQ)= [pic](2MN)(2AP)= 4 área(AMN) = 4 x
Pero área ((ABC) = x+6, entonces x+6= 4x
De donde x = 2. Por lo tanto,
área (ABC)= 8cm2.


ÁLGEBRA
Sea c un número real mayor que 0, y sean a, b reales nonegativos tales que [pic] muestra (sin usar cálculo diferencial), que la suma [pic] es mayor o igual a [pic]. (Sugerencia: esto se puede resolver usando binomios cuadrados).
(4 minutos)



Solución
La cota mínima, nos lleva a pensar que el valor menor se obtiene cuando [pic], así que es suficiente con mostrar que cualquier otro par de valores de a y b que cumplan las hipótesis da un...