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Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
3.1 Definiciones, ejemplos y propiedades básicas
En esta sección introduciremos la noción de transformación lineal, así comotambién ciertas nociones básicas asociadas a estas funciones.
3.1.1 Transformaciones lineales
Definición 3.1 Sean (V;+V ; ¢V ) y (W;+W ; ¢W ) dos K-espacios vectoriales. Una función
f : V ! W se llama una transformación lineal de V en W si cumple:
i) f(v +V v0) = f(v) +W f(v0) 8 v; v0 2 V:
ii) f(¸ ¢V v) = ¸ ¢W f(v) 8 ¸ 2 K; 8 v 2 V:
Observación 3.2 Si f : V ! W es una transformación lineal,entonces f(0V ) = 0W.
En efecto, puesto que f(0V ) = f(0V + 0V ) = f(0V ) + f(0V ), entonces
0W = f(0V ) + (¡f(0V )) = f(0V ) + f(0V )+ (¡f(0V )) = f(0V ) +f(0V ) + (¡f(0V ))= f(0V ) + 0W = f(0V ):
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Ejemplos.
1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0 : V ! W, definida por 0(x) = 0W
8 x 2 V , es una transformación lineal.
2. Si V es un K-espaciovectorial, id : V ! V definida por id(x) = x es una transformación
lineal.
3. Sea A 2 Km£n. Entonces fA : Kn ! Km definida por fA(x) = (A:xt)t es una transformación lineal.
4. f : K[X] ! K[X], f(P) = P0 es una transformación lineal.
5. F : C(R) ! R, donde C(R) = ff : R ! R j f es continuag, F(g) =R10g(x) dx es una transformación lineal.
Como hemos mencionado al comienzo, las transformacioneslineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio,
por ejemplo en las imágenes y pre-imágenes de subespacios por transformaciones lineales:
Proposición 3.3 Sea f : V ! W una transformación lineal. Entonces:
1. Si S es un subespacio de V , entonces f(S) es un subespacio de W.
2. Si T es un subespacio de W, entonces f¡1(W) esun subespacio de V .
Demostración.
1. Sea S µ V un subespacio y consideremos f(S) = fw 2 W = 9 s 2 S; f(s) = wg.
(a) 0W 2 f(S), puesto que f(0V ) = 0W y 0V 2 S.
(b) Sean w;w0 2 f(S). Entonces existen s; s0 2 S tales que w = f(s) y w0 = f(s0).
Luego w + w0 = f(s) + f(s0) = f(s + s0) 2 f(S), puesto que s + s0 2 S.
(c) Sean ¸ 2 K y w 2 f(S). Existe s 2 S tal que w = f(s). Entonces ¸¢w = ¸¢f(s)=
f(¸ ¢ s) 2 f(S), puesto que ¸ ¢ s 2 S.
2. Sea T un subespacio de W y consideremos f¡1(T) = fv 2 V = f(v) 2 Tg.
(a) 0V 2 f¡1(T), puesto que f(0V ) = 0W 2 T.
(b) Sean v; v0 2 f¡1(T). Entonces f(v); f(v0) 2 T y, por lo tanto, f(v + v0) = f(v) +
f(v0) 2 T. Luego v + v0 2 f¡1(T).
(c) Sean ¸ 2 K, v 2 f¡1(T). Entonces f(v) 2 T y, en consecuencia, f(¸¢v) = ¸¢f(v) 2
T. Luego ¸ ¢ v 2 f¡1(T).http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/Capitulo3.pdf

Núcleo e Imagen son subespacios

La propiedad fundamental del núcleo y del contra dominio es que ambos son espacios vectoriales:
Teorema
Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces Ker(T) es un subespacio de V .
R(T) es un subespacio de W.
Demostración
El núcleo de T es subespacio
Sean v1 y v2 elementos del núcleo de T y c unescalar cualquiera. Así T(v1) = 0 = T(v2), y por tanto:
T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 0 + c2 0 = 0
Probando que c1 v1 + c2 v2 esta también en el núcleo de T. Lo cual a su vez prueba que el núcleo de T es un subespacio de V .
La imagen de T es subespacio
Sean w1 y w2 elementos de la imagen de T y c un escalar cualquiera. Así T(v1) = w1 y T(v2) = w2 para algunos v1 y v2 en V , ypor tanto:
T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 w1 + c2 w2
Probando que c1 w1 + c2 w2 es imagen de c1 v1 + c2 v2 y por consiguiente c1 w1 + c2 w2 esta también en la imagen de T. Lo cual a su vez prueba que la imagen de T es un subespacio de W.

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-53.pdf

Representación matricial de una transformación lineal.

Si T es una...