Algebra

Cap´ ıtulo 8

Espacios vectoriales con producto interno
En este cap´ ıtulo, se generalizar´n las nociones geom´tricas de distancia y perpendicularidad, a e conocidas en R2 y en R3 , a otros espacios vectoriales. S´lo se considerar´n espacios vectoriales o a sobre R o sobre C.

8.1

Producto interno

Algunas nociones geom´tricas en R2 y en R3 pueden definirse a partir del producto escalar.e La definici´n que sigue es una generalizaci´n del producto escalar a otros espacios vectoriales. o o

8.1.1

Definici´n y ejemplos o

Definici´n 8.1 Sea V un espacio vectorial sobre R (respectivamente C). Un producto interno o sobre V es una funci´n Φ : V × V → R (respectivamente C) que cumple: o i) Para cada α ∈ R (respectivamente C), y v, w, z ∈ V • Φ(v + w, z) = Φ(v, z) + Φ(w, z) • Φ(α.v,z) = α. Φ(v, z) ii) Φ(v, w) = Φ(w, v) ∀ v, w ∈ V . (Notar que esta condici´n implica que para cada v ∈ V , Φ(v, v) = Φ(v, v), es decir que o Φ(v, v) ∈ R.) iii) Φ(v, v) > 0 si v = 0. Notaci´n. Si Φ es un producto interno, escribiremos Φ(v, w) = v, w . o

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Espacios vectoriales con producto interno

Definici´n 8.2 A un espacio vectorial real (respectivamente complejo) provisto de un prooducto interno se lo llama un espacio eucl´ ıdeo (respectivamente espacio unitario). Observaci´n 8.3 De las condiciones i) y ii) de la definici´n de producto interno se deduce o o que si Φ : V × V → R (respectivamente C) es un producto interno, para cada α ∈ R (respectivamente C), y v, w, z ∈ V vale: Φ(v, w + z) = Φ(v, w) + Φ(v, z), Φ(v, α.w) = α .Φ(v, w). Ejemplos. Se puede comprobar que lasfunciones Φ definidas a continuaci´n son productos o internos sobre los espacios vectoriales correspondientes: • Producto interno can´nico en Rn : o Φ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) = x1 y1 + · · · + xn yn . • Producto interno can´nico en Cn : o Φ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) = x1 y 1 + · · · + xn y n . • Dada B ∈ Cm×n , denotamos por B ∗ ∈ Cn×m a la matriz transpuesta conjugada de B,es decir, a la matriz definida por (B ∗ )ij = Bji . Se define Φ : Cm×n × Cm×n → C como Φ(A, B) = tr(A.B ∗ ). • Si a < b ∈ R y C[a, b] = {f : [a, b] → R / f continua}, se define Φ : C[a, b] × C[a, b] → R como
b

Φ(f, g) =
a

f (x)g(x) dx.

Dado un espacio vectorial V es posible definir distintos productos internos sobre V . En el ejemplo siguiente veremos una familia de productos internos en R2. Ejemplo. Sea Φ : R2 × R2 → R definida por Φ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + α. x2 y2 Hallar todos los valores de α ∈ R para los cuales Φ es un producto interno. Es inmediato verificar que, para cualquier α ∈ R se cumplen las condiciones i) y ii) de la definici´n de producto interno. Veamos para qu´ valores de α se cumple la condici´n iii). Se o e o tiene que Φ((x1 , x2 ), (x1 ,x2 )) = x2 − 2x1 x2 + αx2 1 2 = x2 − 2x1 x2 + x2 + (α − 1)x2 1 2 2 = (x1 − x2 )2 + (α − 1)x2 2 De esta igualdad se deduce que Φ(v, v) > 0 ∀ v = 0 ⇐⇒ α > 1. En consecuencia, Φ es un producto interno si y s´lo si α > 1. o

8.1 Producto interno

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8.1.2

Norma de un vector

La noci´n que sigue generaliza la de longitud de un vector en R2 o R3 . o Definici´n 8.4 Sea (V, , ) un espaciovectorial sobre R (respectivamente C) con producto o 1 interno y sea v ∈ V . Se define la norma de v asociada a , (y se nota v ) como v = v, v 2 . Proposici´n 8.5 (Propiedades de la norma.) Sea (V, , ) un espacio vectorial con producto o interno. i) Para cada v ∈ V , v ≥ 0, y v = 0 si y s´lo si v = 0. o ii) Sean α ∈ R (respectivamente C) y v ∈ V . Entonces α.v = |α|. v . iii) Desigualdad deCauchy-Schwartz. Si v, w ∈ V , entonces | v, w | ≤ v . w . iv) Desigualdad triangular. Si v, w ∈ V , entonces v+w ≤ v + w . Demostraci´n. Las propiedades i) e ii) se deducen inmediatamente de la definici´n de norma. o o iii) Si w = 0, no hay nada que hacer. Supongamos entonces que w = 0. Se tiene que 0 ≤ = = = v, w v, w w, v − w 2 w w 2 v, w v, w v, w v, v − w − w, v − w 2 2 w w w 2 v− v, v − v, w v, w v, w...