algebra

SEMANA 1:

L´
ogica
1.1 Introducci´
on
La l´ogica le proporciona a las matem´aticas un lenguaje claro y un m´etodo preciso para demostrar
teoremas a partir de axiomas. Por ejemplo:
axiomas de Euclides, definiciones, nociones primarias de geometr´ıa cl´asica
+
l´
ogica
=
teoremas de la geometr´ıa euclidiana
Un ejemplo de noci´
on primaria es la de punto. Un ejemplo de axioma es elque dice que por un punto
ubicado fuera de una recta L pasa una y s´olo una recta paralela a L.
Sin la l´ogica los axiomas ser´ıan un mont´
on de verdades aceptadas, pero nada m´as. La l´ogica, sin
embargo, les da sentido y permite concluir nueva verdades (teoremas) que antes no conoc´ıamos. Un
ejemplo de teorema: la suma de los ´angulos interiores de cualquier tri´angulo siempre es de 180◦.Al ser la l´ogica el punto de partida de las matem´aticas, en ella se deben introducir nociones primarias
tales como proposici´on, valor de verdad, conectivo l´ogico.

1.2 Proposiciones y valor de verdad

´ n (Proposicio
´ n lo
´ gica) Una proposici´on debe interpretarse como un enunciado que
Definicio
siempre toma uno de los valores de verdad posibles: verdadero (V ) o falso (F ).
Porejemplo, en el contexto de la aritm´etica, “2+1=5” corresponde efectivamente a una proposici´on.
M´
as a´
un, su valor de verdad es F .
T´ıpicamente notaremos a las proposiciones con letras min´
usculas: p, q, r, etc.
Algunos ejemplos:
“Estoy estudiando ingenier´ıa”.
“1≥ 0”.
“Est´a lloviendo en Valdivia”.

1.3 Conectivos l´
ogicos
Los conectivos l´ogicos sirven para construir nuevasproposiciones a partir de proposiciones ya conocidas.
El valor de verdad de la nueva proposici´on depender´a del valor de verdad de las proposiciones que la
forman. Esta dependencia se explicita a trav´es de una tabla de verdad.
1

´ n (Negacio
´ n) La proposici´on p se lee “no p” y es aquella cuyo valor de verdad es
Definicio
siempre distinto al de p. Por ejemplo, la negaci´
on de “mihermano ya cumpli´o quince a˜
nos” es “mi
hermano a´
un no cumple quince a˜
nos”. Esto se explicita a trav´es de la siguiente tabla de verdad.
p
V
F

p
F
V

´ n (O lo
´ gico o disyuncio
´ n) La proposici´on p ∨ q se lee “p o q”. Decimos que p ∨ q es
Definicio
verdad, o que “se tiene p ∨ q”, cuando al menos una de las dos proposiciones, o bien p o bien q,
es verdadera. Por ejemplo,la proposici´on “ma˜
nana llover´a o ma˜
nana no llover´a” es verdadera. En
otras palabras, tal como se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene
p ∨ q lo que nos est´
a diciendo es que nunca son simult´
aneamente falsas.
p
V
V
F
F

p∨q
V
V
V
F

q
V
F
V
F

´ n (Y lo
´ gico o conjuncio
´ n) La proposici´on p ∧ q se lee “p y q”. Tal como seaprecia
Definicio
en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∧ q, lo que nos est´
a diciendo es que
ambas proposiciones son verdaderas.
p
V
V
F
F

p∧q
V
F
F
F

q
V
F
V
F

´ n (Implicancia) Todos estaremos de acuerdo en considerar verdadera la proposici´on
Definicio
“si el se˜
nor K est´
a en California entonces el se˜
nor K est´
a en EstadosUnidos”. ¿Por qu´e?
Porque a uno no le importa d´
onde est´
a el se˜
nor K: podr´ıa estar en Texas o en China. Lo u
´nico
importante es que, si efectivamente “est´a en Californa”, entonces podemos concluir, con esa sola
informaci´on, que “est´a en Estados Unidos”.
La proposici´on p ⇒ q se lee “p implica q” o “si p entonces q”. Para estudiar su valor de verdad nos
debemos concentrar en el caso deque la hip´otesis p sea verdadera. Ah´ı tenemos que determinar si
basta con esa informaci´
on para concluir que q es verdadera. En resumen: si alguien afirma que se
tiene p ⇒ q, debemos concluir que si p es verdad entonces necesariamente q ser´a verdad. Todo
esto se explicita a trav´es de la siguiente tabla.
p
V
V
F
F

p⇒q
V
F
V
V

q
V
F
V
F

´ n (Equivalencia) Decimos...