algebra

B
Ay

N´
umeros reales y complejos.

2
cn
0
Á
ica lg 12e
2
b
d
0
r
e
M.
a L 13
M
C. ie in
Ló res eal
pe . G
z-D ru
íaz pos

Mar´ıa Concepci´on L´opez-D´ıaz

Departamento de Matem´aticas, Universidad de Oviedo

1.

Conjuntos de n´
umeros. N´
umeros reales y
complejos

[1] N´
umeros naturales N = { 1, 2, 3, . . . }. Las operaciones conocidas son la
suma ”+” yel producto ”·’.
Las propiedades de la suma son:
i) Interna: + : N × N → N aplicaci´on.

ii) Asociativa: ∀a, b, c ∈ N, (a + b) + c = a + (b + c).

Un conjunto con una operaci´on interna y asociativa se dice semigrupo.
As´ı (N, +) es semigrupo. Adem´as la suma es conmutativa: ∀a, b ∈ N, a + b =
b + a. Por tanto (N, +) es un semigrupo conmutativo o abeliano.
De la misma forma (N, ·) es unsemigrupo conmutativo o abeliano.
[2] N´
umeros enteros Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }. Las operaciones
conocidas son la suma ”+” y el producto ”·”.
Las propiedades de la suma son:
i) Interna: + : Z × Z → Z aplicaci´on.

ii) Asociativa: ∀a, b, c ∈ Z, (a + b) + c = a + (b + c).

iii) Existe elemento neutro para la suma en Z: ∃ 0 ∈ Z tal que ∀ a ∈
Z, a + 0 = a = 0 + a.

Polité

iv) Todo elemento de Z tiene opuesto: para cada a ∈ Z, ∃ − a ∈ Z tal
que a + (−a) = 0 = −a + a.

1

M. Concepci´
on L´
opez-D´ıaz

B

Reales y complejos. Polit´ecnica Mieres 12-13

2
cn
0
Á
ica lg 12e
2
b
d
0
r
e
M.
a L 13
M
C. ie in
Ló res eal
pe . G
z-D ru
íaz pos

i) Interna: · : Z × Z → Z aplicaci´on.

Ay

Un conjunto con una operaci´on internacumpliendo las propiedades anteriores se dice grupo. As´ı (Z, +) es grupo. Adem´as la suma es conmutativa:
∀a, b ∈ Z, a+b = b+a. Por tanto (Z, +) es un grupo conmutativo o abeliano.
En cuanto al producto de n´
umeros enteros,

ii) Asociativa: ∀a, b, c ∈ N, (a · b) · c = a · (b · c).

De la esta forma (Z, ·) es un semigrupo.
Por otro lado se cumplen las propiedades distributivas:
i) ∀a, b, c∈ Z, (a + b) · c = a · c + b · c.

ii) ∀a, b, c ∈ Z, a · (b + c) = a · b + a · c.

Un conjunto con dos operaciones internas cumpliendo todas las propiedades
anteriores, es decir, con la suma es un grupo abeliano, con el producto es un
semigrupo, y se cumplen las distributivas, se dice anillo. As´ı (Z, +, ·) es un
anillo. Adem´as, el producto es conmutativo y tiene elemento neutro que esel 1. Por tanto (Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.
[3] N´
umeros racionales Q = { ab | a, b ∈ Z }. Las operaciones conocidas son la
suma ”+” y el producto ”·”.
Tenemos que:
i) (Q, +) es un grupo abeliano,

ii) (Q \ {0}, ·) es un grupo (notar que todo elemento tiene inverso),
iii) se cumplen las dos distributivas.

Un conjunto con dos operaciones internas cumpliendo lo anteriorse dice
cuerpo. As´ı, (Q, +, ·) es un cuerpo. Adem´as el producto es conmutativo, luego
es un cuerpo conmutativo.

Po
lité

[4] N´
umeros reales R. Las operaciones conocidas son la suma ”+” y el producto ”·”.
Tenemos que (R, +, ·) es un cuerpo conmutativo.
Los n´
umeros reales son un conjunto totalmente ordenado.
[5] N´
umeros complejos C = { a + bi | a, b ∈ R , i2 = −1 }. Lasoperaciones
conocidas son la suma ”+” y el producto ”·”. Se definen:
2

M. Concepci´
on L´
opez-D´ıaz

Ay

i) ∀a + bi, c + di ∈ C, (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

B

Reales y complejos. Polit´ecnica Mieres 12-13

ii) ∀a + bi, c + di ∈ C, (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

2
cn
0
Á
ica lg 12e
2
b
d
0
r
e
M.
a L 13
M
C. ie in
Ló res eal
pe . G
z-Dru
íaz pos

Tenemos que (C, +, ·) es un cuerpo conmutativo.
Notar que el elemento neutro del producto es 1 y que para cada n´
umero
a
b
complejo z = a + bi no nulo el inverso es z −1 = ( a2 +b
)
−
(
)i.
2
a2 +b2
Definici´
on 1. Dado un n´
umero complejo z = a + bi,

i) a se dice parte real de z. Se denota Re(z) = a.

ii) b se dice parte imaginaria de z. Se denota Im(z) = b....