Algebra

UNALM-Departamento de Matemática Profesor: Juan Dueñas B.

Curso: Métodos Numéricos II

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Curso: Métodos Numéricos II

EjemploDeterminar: i) fxxy , si f(x,y,z) = ln(2 x + y+3 z) TEOREMA de Schwarz Sea f una función de dos variables x e y. Si f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en un conjunto abierto D, entonces, fxy = fyx en DObservación fxy = fyx puede ser falsa si las derivadas mixtas nos son continuas. • Las derivadas de orden 3 y de orden superiores se definen de manera semejante de las derivadas de segundo orden. Porejemplo, fxyy =(fxy)y =
∂ ⎡ ∂ 2z ⎤ ∂ 3z ⎢ ⎥= ∂ y ⎣∂ y ∂ x ⎦ ∂ y2 ∂ x

ii)

∂ 2u ∂ x2

+

∂ 2u ∂ y2

+

∂2u ∂ z2

+

∂ 3u ∂ x ∂ z∂ y

, si u = e2 x +y -z

Para funciones de más de dosvariables se usan notaciones parecidas y se tienen resultados análogos

PROPIEDAD 4 Sea f: D⊂
n

→ , una función definida en un conjunto abierto D de
∂2f ∂ xi ∂ x j

n

.

Si f y todos susderivadas parciales de segundo orden continuas, entonces,
∂ f ∂ xi ∂ x j
2

son

=

∂ f ∂ x j ∂ xi
2

, i, j = 1,2,...,n

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DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES PROPIEDAD DEFINICIÓN DE DERIVADADIRECCIONAL • Sea f una función de dos variables, x e y. La derivada direccional de f en (x0,y0) en la dirección del vector unitario u = < a, b >, denotado por D u f, se define como:
f ( x0 + h a, y0 + h b) − f ( x0 , y 0 ) Du f ( x0 , y 0 ) = lim , si este límite existe. h h→0

Si f es una función diferenciable de x e y, entonces, la derivada direccional en la dirección del vector unitariou= < a, b>, es: Duf(x,y) = fx(x,y) a + fy(x,y) b Ejemplo: Si f(x,y)= x2 + y3, determinar la razón de cambio de f en el punto P(-1,1) en la dirección de P a Q(3,0).

• Sea f una función de tres...