Algebra

a t e ’ a t i c a s

Universidad Carlos III de Madrid
Escuela Polit´cnica Superior e
´ Departamento de Matematicas

Primer Curso de Grado en Sistemas Audiovisuales. ´ ALGEBRA LINEAL Examen del 10 de Enero de 2011. SOLUCIONES

Problema 1 Sea T : I 4 −→ I 3 la transformaci´n lineal cuya matriz, en las bases can´nicas, es R R o o 1 1 −1 2   2 0 1 . M (T, CI 4 , CI 3 ) =  0 R R 3 −1 −4 2o u (a) (0.5 puntos) Calcula una base y la dimensi´n del n´cleo de T . (b) (0.5 puntos) Calcula una base y la dimensi´n de la imagen de T . o (c) (0.5 puntos) Halla la matriz de T en las bases (de I 4 y I 3 , respectivamente) R R
    1 1    0   1    B1 =   ,   0   0          ,         ,               

0

0

0 0 1 0

0 0 1 −1y

       1 0 1          B2 =  0  ,  1  ,  1  .    1 1 1 

(Nota: La matriz que se pide, siguiendo la notaci´n usada en clase, es M (T, B1 , B2 )). o Soluci´n: o (a) Mediante operaciones elementales de filas sobre la matriz M (T, CI 4 , CI 3 ) llegamos a la forma R R escalonada reducida 1 1 −1 2 1 1 −1 2 1 1 −1 2       2 0 1  −→  0 2 0 1  −→  0 2 0 1  −→ M(T, CI 4 , CI 3 ) =  0 R R 3 −1 −4 2 0 −4 −1 −4 0 0 −1 −2
      

1 1 0 4 1 0 0 7/2     0 1 0 1/2  −→  0 1 0 1/2  .  0 0 1 2 0 0 1 2 Como hay s´lo una columna no pivote, la dimensi´n del n´ cleo de T es 1. Por otro lado, una base o o u del n´cleo de T , que coincide con una base del espacio nulo de la matriz M (T, CI 4 , CI 3 ), se obtiene u R R directamente a partir de laforma escalonada reducida anterior, y es
   −7       −1    =   .  −4       







BN

2

(b) A partir de la forma escalonada obtenida en el apartado (a) conclu´ ımos que una base de la imagen de T , que coincide con una base del espacio de columnas de M (T, CI 4 , CI 3 ), est´ dada por las tres a R R primeras columas de M (T, CI 4 , CI 3 ). Es decir: R RBIm
       1 −1  1         =  0 , 2 , 0  .    3 4  −1

La dimensi´n de la imagen de T es, por tanto, 3. (N´tese que cualquier base de I 3 es una base o o R de la imagen de T ). (c) Calculamos la matriz que nos piden usando la f´rmula o M (T, B1 , B2 ) = M (CI 3 , B1 ) · M (T, CI 4 , CI 3 ) · M (B2 , CI 4 ) = R R R R


1 0 1    0 1 1  1 1 1

−1 

1 1 −1 2   2 0 1   0  3 −1 −4 2





1 0 0 0

1 1 0 0

0 0 0 0 1 1 0 −1



 3    = 2 

0 −4 −5  0 −3 −3  . −2 2 3 2



Problema 2 (a) (1 punto) Razona cu´les de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales del espacio a vectorial (sobre I que se indica. R) R (i) En I 3 , con las operaciones usuales, el subconjunto
 2    A = vectores de I 3 cuyadistancia al vector  1  es igual a 3 . R     2      

(ii) En I 2×2 , con las operaciones usuales, el subconjunto, R B = X ∈ I 2×2 : AX = X T A , R donde A=
[ { }

2 1 −2 −1

]

.

(iii) En el espacio de polinomios de grado menor o igual que 3 en la variable t (y coeficientes reales), P3 [t], el subconjunto C = p(t) ∈ P3 [t] : p(1) = p′ (1) = p′′ (1) = 0
{ }

.

(Nota: p′ yp′′ denotan, respectivamente, la primera y la segunda derivada de p respecto a la variable t). (b) (0.5 puntos) Calcula la dimensi´n de los subespacios vectoriales del apartado (a). o Soluci´n: o (a)

(i) No es un subespacio vectorial. El vector w = 4 2 4 est´ en A, pero 2w no est´ en A. a a (ii) S´ es subespacio vectorial. Veamos que B es cerrado por la suma y el producto por escalares: Sean ı X1 ,X2 dos matrices de B y α1 , α2 dos n´meros reales cualesquiera. Entonces u
T T A(α1 X1 + α2 X2 ) = α1 AX1 + α2 AX2 = α1 X1 A + α2 X2 A = (α1 X1 + α2 X2 )T A,

[

]T

luego α1 X1 + α2 X2 tambi´n est´ en B. e a

(iii) S´ es subespacio vectorial. Veamos que C es cerrado por la suma y el producto por escalares: Sean ı p1 [t], p2 [t] dos polinomios de C y α1 , α2 dos n´meros reales...