AlgebraLineal

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LECCIONES
de
ALGEBRA LINEAL

por
Mar´ıa Jes´
us Iranzo Aznar
y
Francisco P´
erez Monasor
Departamento de Algebra.
Facultad de Matem´
aticas. Universitat de Val`encia

1

PROGRAMA.
Lecci´
on 1. Preliminares: aplicaciones, relaciones, divisibilidad en Z....4-9
Lecci´
on 2. Leyes de composici´
on.........................................................10-13
Lecci´
on 3. Grupos: homomorfismos, grupocociente, grupo sim´
etrico 14-26
Lecci´
on 4. Anillos. Primeras propiedades......................................... 27-35
Lecci´
on 5. Polinomios sobre un anillo............................................... 36-45
Lecci´
on 6. Espacios vectoriales.......................................................... 46-57
Lecci´
on 7. Aplicacioneslineales......................................................... 58-64
Lecci´
on 8. Espacio vectorial dual de uno dado................................... 65-67
Lecci´
on 9. Matrices................................................ .......................... 68-74
Lecci´
on 10. Formas multilineales. Determinantes.............................. 75-79
Lecci´
on 11. Determinante de una matriz cuadrada............................ 80-83
Lecci´
on 12. Sistemasde ecuaciones.................................................... 84-86
Lecci´
on 13. Valores y vectores propios de un endomorfismo-............. 87-90

2

El Algebra Lineal estudia la estructura de los espacios vectoriales y las aplicaciones
lineales entre ellos. Las lecciones que vamos a desarrollar constituyen una iniciaci´
on a
dicho estudio. Una continuaci´
on natural de estas lecciones es lateor´ıa del endomorfismo,
caracterizando la semejanza de matrices, obteniendo las formas can´
onicas y la dimensi´
on
de los subespacios fundamentales. Estos temas se desarrollan en Lecciones de Algebra
Multilineal.
Si a un espacio vectorial se le dota de un producto escalar, pasa a ser un espacio
m´etrico y objeto central de la as´ı llamada Algebra Geom´etrica por E. Artin, cuyo texto
siguesiendo atractivo a lo largo de los a˜
nos.
Concluidos estos estudios preliminares, puede abordarse el estudio del Espacio Af´ın,
que puede verse como un conjunto de puntos sobre el que act´
ua un espacio vectorial. La
estructura y transformaciones de dicho espacio subyacente, tienen implicaciones en las del
espacio af´ın asociado. Parte importante de la Geometr´ıa Af´ın es el estudio del Espacio
Af´ınEuclidiano, cuyo espacio vectorial subyacente posee una m´etrica euclidiana.
Desde un punto de vista m´
as aplicado, podemos citar la Teor´ıa de Codigos correctores
de errores y especialmente de los c´
odigos lineales de longitud dada n, que son los subespacios del espacio vectorial Fn , donde F es un cuerpo finito. De acuerdo con la frase de R.
Hill en su texto introductorio a la teor´ıa de c´odigos, la estructura de un cuerpo finito se
encuentra entre las m´
as bellas de la estructuras matem´
aticas. Por otra parte los c´
odigos
c´ıclicos de longitud n sobre un cuerpo finito F, son simplemente los ideales del anillo cociente F[x]/(xn − 1). Estos temas se encuentran en las Lecciones de Elementos de Algebra.
Aplicaciones, de forma que, mediante dicho desarrollo, se pueden realizaralgunos de los
conceptos b´
asicos introducidos en Algebra Lineal.
Muchas m´
as son las aplicaciones del Algebra Lineal, adem´
as de las ya citadas en el
entorno matem´
atico. F´ısicos, qu´ıimicos. ingenieros.. la utilizan muy frecuentemente.

3

Lecci´
on 1. Preliminares

Consideraremos la noci´
on de conjunto como primitiva, es decir no intentaremos dar
una definici´on de ´este concepto, noscontentaremos con la idea intuitiva que del mismo
tenemos. Algo parecido sucede con los conceptos anejos fundamentales, elemento de un
conjunto o pertenecer a un conjunto.
Si E es un conjunto, escribiremos a ∈ E para indicar que a es un elemento del
conjunto E. Para describir un conjunto, utilizaremos la notaci´
on E = {a, b, c} para significar que E tiene exactamente los elementos a, b y c o E = {a, b,...
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