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INSTITUTO TECNOLOGICO
DE CIUDAD VICTORIA.

ALUMNO:EDGAR IVAN LOPEZ GARCIA.
PROFESOR: LIC. ESTEBAN REQUENA.
MATERIA: ALGEBRA LINEAL.

SAN FERNANDO

15-10-2013

4.1-ESPACIO
VECTORIAL.

ESPACIO VECTORIAL.

Un espacio vectorial es una terna (V,+,·), donde V es un conjunto no vacío
(llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y +,· son dos
operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V →V a las que llamaremos
’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las
siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u+v y ·(λ, v) = λv,

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la
matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como
las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión
de imágenes y sonido, oproporcionan el marco para resolver ecuaciones en
derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una
forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y
físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades
locales de variedades mediante técnicas de línealización.

Definición de Espacio Vectorial
En el estudio de las matemáticas o de lafísica, el término vector se aplica
a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que
representan magnitudes y dirección , ya sea un fuerza, una velocidad o
una distancia. El término vector también se usa para describir entidades
como matrices, polinomios o funciones.
Supongamos que tenemos un conjunto ”V” donde para X, Y, €,V y a ,
b  escalares cumplen con las siguientespropiedades:

Entonces ”V” se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior
que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares,
los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo
abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa,
conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un
campo con lainclusión del 0 y del 1.
Dicho de manera informal, en un espacio vectorial tenemos elementos los
cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir
es encontrar todas las características estructurales de estos espacios.
Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como
relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro
y lageneración de espacios más complejos por medio de productos
cartesianos.

4.2-SUBESPACIO
VECTORIAL.

SUBESPACIO VECTORIAL.

Teorema.
La intersección de cualquier número de sub espacios de un espacio vectorial
V es un sub espacio de V.
Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n
incógnitas AX=B puede verse como un punto en K n y por tanto el conjunto
solución de talsistema es un subconjunto de K n. Supongamos que el
sistema homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma
AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero
0ÎW además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de
AX=0, necesariamente Au=0 y A v=0. Por esta razón, para todo par de
escalares a y b en K, tendremos A(a u + b v)=a A u + b A v = a 0 +b 0 = 0 + 0
= 0. De esta manera, a u + b v es también una solución de AX=0 o, dicho de
otro modo, a u + b v Î W. En consecuencia, según el corolario, hemos
demostrado:
Teorema: el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas
AX=0 es un sub espacio de k n.
Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema in homogéneo
AX=B no es sub espacio de K n. De hecho, el vector cero,0, no pertenece a

4.3-COMBINACION
LINEAL E
INDEPENDENCIA LINEAL.

COMBINACIÓN LINEAL.
Sea (V,K,+,*), Espacio Vectorial, S={1, 2,..., n} Se dice
que un vector es combinación lineal de un conjunto de
vectores
S = { 1, 2,..., n} si es que existe alguna forma de
expresarlo como suma de parte de todos los vectores de S,
multiplicados a cada uno de ellos por un escalar cualquiera
.
El vector es...