Análisis combinatorio

Probabilidad y Estadística
Análisis Combinatorio
El análisis combinatorio es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, la cual nos permite resolver muchos problemas prácticos, y nos va a servir para resolver y comprender problemas sobre probabilidades. Técnicas fundamentales del Análisis Combinatorio En lamayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado. Estas técnicas son: la técnica de la multiplicación, la técnica de la permutacióny la técnica de la combinación. La Técnica de la Multiplicación Según La técnica de la multiplicación, si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas En términos de fórmula Número total de arreglos = m x n Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o: Número total de arreglos = m x n x o Ejemplo: Unvendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con aros deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y aros puede ofrecer el vendedor? Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número detipos de rin). Número total de arreglos = 3 x 2 No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y aros en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de aros. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo: Número totalde arreglos = m x n = 8 x 6 = 48 La Técnica de la Permutación Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es
Profesor Juan Manuel Jiménez Rodríguez, MBA jjimenez@funcionefectiva.com 1

Probabilidad y Estadística
aplicada para encontrar el número posible de arreglos dondehay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes? Las diferentes maneras de ensamblar los componentes sonllamadas permutaciones, y son las siguientes: TDC DTC CDT TCD DCT CTD Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es: nPr= n! (n – r )!

Donde: nPr es el número de permutaciones posible n es el número total de objetos r es el número de objetos utilizados en un mismo momento nPr=Ejemplo: Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles? nPr= n! (n – r )! = 8! ( 8 – 3 )! = 8! 5! = 336 n! (n – r )! = 3! ( 3 – 3 )! = 3x2 1 =6

En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no haydos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente: n Pr = nr Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes: AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC Usando la fórmula: n Pr = nr...