Análisis convexo

Econom´ Matem´tica
ıa
a
Resumen Nociones Topol´gicas
o
Definici´n 1 En IRn , una vecindad de radio r alrededor del punto x es el conjunto
o
Vr (x) = {y ∈ IRn : x − y < r} .
Definici´n 2 Unpunto x ∈ IRn es un punto interior de un conjunto A ⊆ IRn si existe una vecindad Vr (x) de
o
x tal que Vr (x) ⊂ A.
Definici´n 3 Un conjunto A ⊆ IRn es un conjunto abierto si todos los puntos de A sonpuntos interiores de
o
A.
Definici´n 4 Un conjunto A ⊆ IRn es un conjunto cerrado si su complemento Ac es un conjunto abierto.
o
Definici´n 5 Un conjunto A ⊆ IRn es un conjunto acotado si existealguna bola abierta que lo contenga.
o
Definici´n 6 Un conjunto A ⊆ IRn es un conjunto compacto si es cerrado y acotado.
o
Definici´n 7 Un conjunto X de IRn es un convexo si y solo si:
o
Para todo x,y ∈ X, λ ≥ 0 λx + (1 − λ)y ∈ X.
Definici´n 8 Sea f : X → IR con X ⊆ IRn conjunto convexo. El ep´
o
ıgrafo de f es el conjunto
Ef = {(x, k)|x ∈ X, k ∈ IR, k ≥ f (x)}.
Definici´n 9 Sea f : X → IR conX ⊆ IRn conjunto convexo. El hip´grafo de f es el conjunto
o
o
Ef = {(x, k)|x ∈ X, k ∈ IR, k ≤ f (x)}.
Definici´n 10 Sea f : X → IR con X ⊆ IRn conjunto convexo. Para todo y del rango de f , elcontorno inferior
o
de f en y es el conjunto CIf (y) = {x ∈ X|f (x) ≤ y}.
Definici´n 11 Sea f : X → IR con X ⊆ IRn conjunto convexo. Para todo x1 , x2 ∈ X
o
(i) f es una funci´n convexa, si paratodo λ ∈ [0, 1] tenemos,
o
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) o si Ef es un conjunto convexo.
(ii) f es una funci´n estrictamente convexa si para todo λ ∈ (0, 1) tenemos,
o
f (λx1 + (1− λ)x2 ) < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
(iii) f es una funci´n cuasiconvexa si para todo λ ∈ (0, 1) tenemos,
o
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ m´x{f (x1 ), f (x2 )} o si ∀y, CIf (y) es un conjunto convexo.
a(iii) f es una funci´n estrictamente cuasiconvexa si para todo λ ∈ (0, 1) tenemos,
o
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) < m´x{f (x1 ), f (x2 )} cuando f (x1 ) = f (x2 )
a
Definici´n 12 Una matriz sim´trica A...