Análisis en en el dominio del tiempo

DEPARTAMENTO DE CONTROL Y AUTOMATIZACION LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO

PRÁCTICA 5 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 1. OBJETIVOS • Analizar sistemas de primer y segundo orden. • Hallar la respuesta de sistemas ante entradas típicas. • Conocer como el sistema se comporta en estado estable
2. MARCO TEÓRICO Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que latransformada de Laplace de la función escalón unitario es l/s, sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos:

Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación obtenemos La ecuación anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que larespuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir, Observe que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta del sistema. Otra característica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t = 0 es 1/T, dado que

La respuesta alcanzaría el valor final en t= T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A partir de la ecuación anterior vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotónica de 1/T en t = 0

La curva de respuesta exponencial c(t)) aparece en la figura anterior. En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuestaalcanza 86.5% del valor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t =4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. El estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de un tiempo infinito. Sin embargo, 1 ANALISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

DEPARTAMENTO DE CONTROL Y AUTOMATIZACION LABORATORIO DE SISTEMASDE CONTROL AUTOMÁTICO en la práctica, una estimación razonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN La función de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como:

El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe acontinuación en términos de dos parámetros ξ y wn. El valor de ξ toma diferentes valores dependiendo de su ubicación en el plano s. • El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un amortiguamiento positivo (ξ>0), esto causa que la respuesta escalón unitario establezca un valor final constante en el estado estable debido al exponente negativo (-ξwnt). Por lo tanto el sistema es estable. Elsemiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo (ξ 1. La respuesta transitoria de los sistemas críticamente amortiguados sobreamortiguados no oscila. Si ξ = 0, la respuesta transitoria no se amortigua.

y

Ahora obtendremos la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario. Consideraremos tres casos diferentes: (1) Caso subamortiguado (0 < ξ < 1): en este caso,C(s)/R(s) se escribe como

en donde amortiguada

La frecuencia

se denomina frecuencia natural

Los polos del sistema se encuentran en:

s1, 2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2 = −σ ± jω d
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(2) Caso críticamente amortiguado (ξ = 1): si los dos polos de C(s)/R(s) son casiiguales, el sistema se aproxima mediante uno críticamente amortiguado. Los polos se encuentran ubicados en:

s1, 2 = −ξω n
(3) Caso sobreamortiguado (ξ > 1): en este caso, los dos polos de C(s)/R(s) son reales negativos y diferentes.

p1, 2 = −ξω n ± ωn ξ 2 − 1
Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. En muchos casos prácticos, las características de desempeño deseadas...