Análisis matemático

ANÁLISIS MATEMÁTICO

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

En términos generales, el proceso implica analizar el comportamiento de una función
f ( x ) cuando x se “aproxima” a un número a que puede ó no estar en el dominio de la función. Tal vez ha estado usted en un estacionamiento en el que debe “ aproximarse “ al carro de enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo. Estanoción de estar cada vez más cerca de algo, pero no quiere golpearlo ni tocarlo, es muy importante en matemáticas y está involucrado en el concepto de límite.

Debe tenerse presente que una función y = f ( x ) conlleva dos variables. La variable x se denomina variable independiente, mientras que y es denominada variable dependiente ó valor de la función.

Ejemplo 1Sea la función [pic]

Aunque ésta función no está definida en x = 3, se desea conocer acerca del comportamiento de los valores de la función cuando x toma valores muy cerca de 3. La tabla 1 da algunos valores que son un poco mayores y otros un poco menores que 3 . Observe que cuando x toma valores más y más próximos a 3 sin importar si x se aproxima por la izquierda ( x < 3) o porla derecha ( x > 3 ), los valores correspondientes f ( x ) se acercan cada vez más exclusivamente a un número, el 6. Esto también es claro observando la gráfica de f( x ) . ( Fig. 1 )

| x | f ( x ) |
| 2,9 | 5,9 |
| 2,99 | 5,99 |
| 2,999 | 5,999 |
| | |
| 3,1 | 6,1 |
| 3,01| 6,01 |
| 3,001 | 6,001 |

Tabla1

La tabla 1 muestra que cuando x se acerca al valor 3 por laizquierda o derecha los valores funcionales f ( x ) están acercándose a 6, esto es, cuando x está próximo a 3, f ( x ) está próximo a 6. Entonces, 6 es el límite de f cuando x tiende a 3 y se escribe:

[pic] cuando [pic] o bien [pic]= 6

Concepto intuitivo

El límite de f ( x ) cuando x se tiende al valor a, es el número L, que lodenotamos por

[pic]

siempre que f ( x ) se aproxime a L, para todo x, lo suficientemente cerca, pero diferente de a.

Observaciones

O1 Debe tenerse presente que el límite de una función es un número L, hacia donde se aproximan los valores de f ( x ), cada vez que x toma valores cercanos al valor a.O2. El límite es independiente de la manera en que x se aproxima al valor a . Por ejemplo en la tabla 1, x toma valores próximos al número 3, ya sean menores ó mayores; y el resultado es el mismo, los valores de f ( x ) se aproximan al valor 6 ( el límite de la función)

O3. De lo anterior se deduce que el límite de una función es único. Es decir no puede tomar más de unvalor.

Contraejemplo

Sea [pic] . Estamos interesados en saber hacia donde se aproxima f ( x ) cuando x toma valores cercanos a 3.

| x | f ( x ) |
| 2,9 | 3,9 |
| 2,99 | 3,99 |
| 2,999 | 3,999 |
| | |
| 3,1 | 6,1 |
| 3,01 | 6,01|
| 3,001 | 6,001 |

Tabla 2

En la tabla 2, se observa que si x toma valores cercanos pero menores que 3
(también se expresa diciendo que los valores de x se aproximan a 3 por la izquierda ), los valores correspondientes de f ( x ) se aproximan a 4. Mientras que si x toma valores cercanos pero mayores...