Análisis numérico

Interpolación de funciones

|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
| [pic] |[pic] |

[pic]

Se hacen mediciones de valores conocidos, supongamos un termómetro.
|Temp. Exacta |Temp. Leida |
|0 |1,5 |
|10 |9,5 |
|20 |18|
|30 |31 |

[pic]

La curva de calibración se determina por interpolación.
En general, se usan polinomios [pic]para las funciones de interpolación.

[pic]

Para conocer el polinomio de interpolación debemos determinar sus coeficientes [pic]
n: es el grado del polinomio (el máximo exponente de x eeeeeeeeh)

Existe un teoremaque dice que por (n+1) puntos solo pasa un único polinomio de grado n.
Por ej:
[pic]

[pic]
[pic]

[pic]

Si tengo (n+1) datos utilizo un polinomio de grado n para interpolarlo, debo determinar los coeficientes antes mencionado. Tengo (n+1) incógnitas. Voy a usar los valores [pic] en los puntos conocidos planteando el polinomio [pic]

Notemos que cada ecuación es lineal en loscoeficientes [pic]; luego de plantear esta ecuación en todos los puntos llego a un sistema lineal de (n+1) incógnitas que resuelvo por eliminación de Gauss.

Solución de un sistemas de ecuaciones lineales

3 ecuaciones con 3 incógnitas:

[pic]

Planteamos el sistema en forma matricial:

[pic]

Usando notación de matrices:

[pic]

Funciones de Lagrange
Las funciones de Lagrange [pic]estánasociadas a (n+1) puntos[pic]y son polinomios de grado n con las siguientes propiedades

[pic]
La función de Lagrange [pic]está asociada al valor [pic] y vale 1 en ese punto y 0 en los otros.
Tenemos funciones de Lagrange de diferentes órdenes n

n = 1 n+1=2 puntos dato [pic]

[pic]

N=2 n+1=3 puntos dato [pic]

[pic]

Las funciones de Lagrange se pueden expresar como:
[pic]
Paraque la expresión sea una función de Lagrange de orden n debe ser un polinomio de grado n que cumpla con las condiciones de Lagrange (1)
Notemos que en el numerador la variable x aparece multiplicada por sí misma como máximo n veces. Esto significa que el máximo exponente de x en el numerador es n y por lo tanto la expresión anterior corresponde a un polinomio de grado n.
Notemos que para valores[pic]la expresión (2) se anula y para [pic]el numerador coincide con el denominador y la expresión vale 1. Por lo tanto dicha expresión satisface las condiciones de Lagrange y representa una función de Lagrange.

Uso de las funciones de Lagrange en interpolación

Es posible definir una expresión alternativa del polinomio de interpolación Pn(x) que interpola n+1 puntos dato[pic] usandofunciones de Lagrange de orden n como:
[pic]
Para demostrar que esta expresión se corresponde con el polinomio de interpolación debe ser un polinomio de grado n que pase por los puntos dato:
[pic]
Notemos que la expresión es la suma de polinomios de grado n por lo tanto la suma también es un polinomio de grado n
Además en un punto dato [pic] tenemos:
[pic]
Por lo tanto la expresión anterior pasapor los puntos dato [pic] y se corresponde con el polinomio de interpolación. Supongamos que tenemos n+1 datos [pic]y deseo conocer el valor intermedio de [pic]correspondiente a un valor [pic]que no está en la tabla

|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
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|[pic] |[pic] |

Primero calculamos todas las funciones de Lagrange en [pic] y luegosumamos usando la expresión (3):
[pic]

Interpolación para datos equiespaciados

En ciertas ocasiones los datos a interpolar [pic]tienen igual separación en x, en ese caso decimos que los datos están equiespaciados.

[pic]
Se definen las diferencias hacia adelante en [pic]
[pic]
De manera análoga es posible definir diferencias de orden mayor. Por ejemplo, las diferencias de 2do orden en...