Analisis de errores

Guía de Laboratorio N0 0

Análisis de Errores

Objetivos
• Aprender acerca de las diferentes fuentes de error que pueden existir en un experimento. • Mostrar cómo cuantificar los errores en una medición. • Ilustrar el uso de barras de error en gráficos de datos.

1. Introducción
Dada la incertidumbre inherente a toda medición experimental, existe siempre un error asociado a ellas. Por lotanto, en el contexto de un experimento no sólo es importante que obtengamos un resultado para una determinada medición, sino que también debemos especificar cuál es el error correspondiente. Este último usualmente lo escribimos usando el símbolo ± que nos dice en qué intervalo es probable que se encuentre el resultado “verdadero”. Por ejemplo, un determinado experimento nos puede decir que laaceleración de gravedad en la superficie de la Tierra es 9.7±0.2 m/s2. Esto quiere decir que la mejor estimación para la medición es 9.7 m/s2 y que es muy poco probable que el resultado verdadero sea mayor que 9.9 m/s2 o menor que 9.5 m/s2. La inhabilidad de hacer un análisis de error adecuado puede llevarnos a sacar conclusiones completamente erradas a partir de nuestros resultados.

2. Campana deGauss y error estadístico
Existen muchas mediciones para las cuales existen factores aleatorios asociados, por lo que los resultados de mediciones sucesivas no serán necesariamente idénticos y estarán distribuidos en torno a un determinado valor. Por ejemplo, tomemos las mediciones de la altura de un grupo de 928 personas realizadas por Galton en Inglaterra en 1886 (ver fig. 2.1). Las barras dela figura nos muestran la cantidad de personas cuya altura se encuentra en cada intervalo de una pulgada. En muchos casos, incluyendo el de las mediciones de Galton, es adecuado considerar que la distribución de los datos es aproximadamente normal (o “Gaussiana”). Es decir, si tuviéramos un número muy grande de mediciones (personas en este caso) y pudiéramos entonces agruparlos en intervalos cadavez más pequeños (por ejemplo 0,1 pulgadas), veríamos que la curva descrita por las

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Figura 2.1: La altura de las barras indican el número de personas cuya estatura se encuentra en el correspondiente intervalo de una pulgada.

barras se asemejaría cada vez más a una curva como la línea punteada que se muestra en la figura 2.1. Esta curva es descrita por la ecuación:
−(x − x ) 2

N( x) = A e

2σ 2

,

donde x es el valor medio de la medición y σ es la desviación estándar. Esta función nos dice que los resultados de una medición estarán distribuidos en torno a un determinado valor medio con una dispersión dada por la desviación estándar (ver fig. 2.2). Más precisamente, se puede demostrar que el 68% de los resultados de la medición, o equivalentemente el 68% del área bajola curva N(x ) estarán entre x + σ y x − σ . De manera similar, un 95% de los resultados estarán entre x + 2σ y x − 2σ .

Figura 2.2: Curva correspondiente a una distribución normal. A ésta a veces se le llama campana de Gauss.

Por ejemplo la afirmación vista anteriormente que la aceleración de gravedad es 9.7±0.2 m/s2 significa que la desviación estándar es 0.2 m/s2, es decir, podemosafirmar con un 68% de probabilidad que el valor verdadero está entre 9.5 m/s2 y 9.9 m/s2.

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Al hacer una cantidad finita de mediciones, obviamente será difícil que un gráfico de barras de nuestros datos asemeje de manera precisa una curva Gaussiana. Sin embargo, se sabe que dado un conjunto de datos (ó mediciones) las mejores estimaciones para el valor medio y desviación estándar están dados porxest =

1 N ∑ xi N i =1

y,

σ est

1 N = ∑ (x i − x est ) 2 , N − 1 i =1

donde “est” indica que son los valores estimados. Debemos enfatizar que estos no son los valores verdaderos de la media y la desviación estándar, sino que sólo una aproximación que se vuelve mejor cuanto más grande es N . Una conclusión importante es que la desviación estándar es el error en cada medición...