Tipos de errores en analisis numerico

[pic]AMPLIACIÓN DE LOS TIPOS DE ERRORES


El objetivo de cualquier estudio de errores es tratar de conocer el efecto que, sobre el resultado final de un problema numérico, produce cada uno de los diferentes tipos de errores que pueden tener lugar.


Podemos distinguir cinco tipos básicos de errores:
• Los de datos
• Los de cálculos intermedios
• De redondeo• Por equivocación
• De formulación
El error total sobre el resultado final será la suma de las contribuciones de los tres tipos de dichos errores.


1. PROPAGACIÓN DE LOS ERRORES DE LOS DATOS

Para los problemas numéricos de hacer operaciones aritméticas (+,-, ·, /) con dos datos x1 y x2 afectadas de error, tenemos los siguientes hitos del error propagado:

[pic]Єa (x1 + x2 ) =Єa ( x1 ) + Єa ( x2 ) ,

Єa (x1 - x2 ) = Єa ( x1 ) + Єa ( x2 ) ;

y los siguientes hitos aproximados de x1 y x2 son pequeños:

Єr (x1 x2 ) ≈ Єr ( x1 ) + Єr ( x2 ),

Єr (x1/ x2 ) ≈ Єr ( x1 ) + Єr ( x2 ).

Para un problema numérico consistente a calcular el resultado y = f(x) a partir de solo un dato x, obtenemos la siguiente formula aproximada de propagación del error.ea (y) ≈ f ′ (x)· ea (x),

como consecuencia directa del teorema del valor medio, para las funciones f de una variable, derivables con continuidad. De aquí se deduce un hito aproximado para el error absoluto de y, en función de un hito del error absoluto de x, dando lugar a la formula aproximada de propagación del error maximal.

Єa (y) ≈ | f ′ (x) Єa(x)

Finalmente, para el problemanumérico más general que consiste en calcular un resultado y = f (x1 , …, xn ) a partir de unos datos x1 , …, xn , disponemos de la formula aproximada de propagación del error

ea (y) ≈ [pic]( x1 , …, xn ) ea (xi) ;
de donde, conocidos los hitos de ea (xi) , podemos hitar ea (y) , obteniendo así la fórmula aproximada de propagación del error maximal

Єa ≈[pic]Єa(xi) ;

especialmente adecuadacuando n, el número de datos afectados por el error, no es grande.

2. PROPAGACIÓN DE LOS ERRORES EN LOS CÁLCULOS

La propagación de los errores en los cálculos se estudia en dos fases:


-Análisis de los errores hacia detrás
-Propagación de los errores imputados a los datos

Definición de las fases expuestas anteriormente:

• Análisis de los errores hacia detrásPartiendo de datos iniciales exactos, por culpa de la acumulación de los errores en la operaciones, obtenemos un resultado afectado por el error. La idea básica de este análisis consiste en estudiar la modificaciones que tendríamos que hacer sobre los datos de entrada, de forma que, suponiendo que no hubiesen errores en la operaciones, se obtubiera el mismo error en el resultado.


Esteestudio se basa en la utilización sucesiva de la fórmula

fl(a*b)= (a*b)·(1+δ*) ,

con | δ*|≤ Є* , a cada una de la operaciones aritméticas * = (+, -, · , / ) que componen el proceso de cálculo, donde la Є* indica un hito conocido del error relativo en la operación * ; además, para todas la funciones g que intervienen en los cálculos, se escriben
fl(g(x)) = g(x)·(1+δg),

con | δg|≤ Єg , dondeЄg indica un hito conocido del error relativo en la evaluación de g.

A continuación, se escribe una expresión del resultado final que permite imputar los errores de los cálculos a los datos. Con dicho procedimiento se reduce el análisis de los errores en los cálculos a un análisis de propagación de los errores en los datos sin errores en los cálculos.


• Propagación de los erroresimputados a los datos


Una vez hecha la reducción anterior, se aplica la fórmula de propagación del error maximal a los hitos de los errores imputados a los datos, considerando que los datos ya se hacen sin errores.


3. ERRORES DE REDONDEO


Los errores de redondeo se originan debido a que le computadora puede guardar un número fijo de cifras significativas durante el...