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Función Cuadrática
Una función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:

Donde a, b y c son constantes y a distinto de 0.
La representación gráfica en el plano xy haciendo:

Esto es:

Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.


Estudio de la función

Corte con el eje y
La función cortael eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

Lo que resulta:

La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.













Corte con el eje x
La función corta al eje x cuando y vale 0:

Las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, quese obtienen como es sabido por la expresión:

Dónde:

Se le llama discriminante, D:

Según el signo del discriminante podemos distinguir:
D > 0
La ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: 
D = 0
La ecuación tiene una solución, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, en la cual es tangente a este eje donde las dos ramas de laparábola confluyen.
D < 0
La ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Extremos relativos
Para localizar los extremos relativos, se calcula x:

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrara el valor máximo o mínimo de la función.



Raíces
Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales. Portratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como:  y , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como .
Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:
.
Una solución real doble si el discriminante es cero:

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:



Representación analítica
Existen tresformas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.

Forma desarrollada
La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomiode segundo grado, escrito convencionalmente como:

Con.









Forma factorizada
Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

Siendo a el coeficiente principal de la función, y  y  las raíces de. En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces  por lo que la factorización adquiere la forma:

En este caso a  se ladenomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.
Forma canónica
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

A esta forma de expresión se la llama forma canónica (o reducida). Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de laforma polinómica y se realiza el procedimiento llamado completando el cuadrado:
Dado:

Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.

Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.

Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.







sustituyendo:

la expresión queda:


Gráfica de las funciones cuadráticasLa función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
x
-3
-2
-1
-0'5
0
0'5
1
2
3
f(x) = x2
9
4
1
0'25
0
0'25
1
4
9

Esta curva simétrica se llama parábola.
Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.




Dibujemos la gráfica de f(x) =  x2  -2 x - 3.
x
-1
0
1
2
3
4
f(x)
0
-3
-4
-3
0
5
Completando la gráfica obtengo:...