Analisis De Sensibilidad

Programación Matemática para Economistas

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5.- Análisis de sensibilidad.
Dentro de este apartado, que lleva por título análisis de sensibilidad, incluiremos tres
grandes secciones que en la literatura suelen ir desagrupadas. Nos referimos al análisis de
postóptimo, al análisis de sensibilidad propiamente dicho y a la programación lineal
paramétrica.
5.1.- Análisis depost-optimización.
El análisis de post-optimización estudia la estabilidad de la solución óptima de un
problema de Programación Lineal una vez que se modifica en el mismo algún parámetro
(cj, bi, aij), se introducen nuevas variables o se añaden nuevas restricciones.
Pues bien, para ello el conocimiento de las matrices B y B-1 es fundamental, tanto
desde el punto de vista teórico como desde el práctico, debidoa las relaciones:

x* = B-1P0
B
Pj* = B-1Pj

(20)
(21)

zj = cBt Pj* = cBtB-1Pj
t

(22)
*
j

c j - z j = c j - cB P

(23)

siendo válidas las tres últimas para j=1,2,...,n.
En las expresiones anteriores x* es una parte de x* (solución óptima) formada por
B
las componentes básicas del vector solución, colocadas en el orden asociado a la base B; cB
es el vector de costesasociados a la base, cuyas componentes están, asimismo, puestas en el
mismo orden.

5.1.1.- Modificación de un coeficiente de la función objetivo.
Consideremos el problema:
Max ctx
s.a Ax = b
x≥0
y supongamos que un coeficiente de la función objetivo cj se modifica, pasando a valer c 0 .
j
Se trata de verificar si este cambio supone una modificación en la estructura de la solución
delproblema original, entendiendo por ello un cambio en B, en x* , o en ambos.
B
En lo que sigue, supondremos

B = {P1, P2, ..., Pm}
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz

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*
es decir, que la base final ha sido: { P1 , P2 , ..., Pm } y, por lo tanto, {1,2,...,m} son lossubíndices asociados a las variables básicas y por consiguiente {m+1,...,n} los asociados a
las restantes (no básicas).

Pues bien, si de cj pasamos a c 0 puede ocurrir dos cosas:
j

A) j ∈ {1,2,...,m} es decir, que el coste modificado, cj, sea básico: cj ∈ cB. En este caso, por
(21) y (22):
zk = cBtB-1Pk

k=1,2,...,n

de donde resulta que todos los zk dependen de los costes básicos y elloquiere decir que una
0
modificación de cB va a afectar a todos los zk, pasando a valer z k , k=1,2,...,n.
Ahora bien, dichos valores son de dos tipos:
0
A-1) k ∈ {1,2,...,m}, es decir, los z k básicos (asociados a variables básicas), los cuales no
van a afectar a la estructura del problema, dado que
0
ck - z k = 0 ∀ k ∈ {1,2,...,m}
0
A-2) k ∈ {m+1,...,n}, en este caso puede ocurrir quealgún o algunos ck - z k se hagan
positivos, se anulen o sigan siendo negativos. En los dos primeros casos se continúa el
método del símplex hasta su fin, modificándose, por lo tanto, la estructura del problema; en
el tercer caso la modificación de cj no ha producido cambio en dicha estructura.

B) j ∈ {m+1,...,n} es decir, el coste modificado c 0 no es básico. En este caso el único
j
problemaque va a surgir es que c 0 - zj deje de ser negativo y se haga, por lo tanto, nulo o
j
positivo, en cuyo caso resultará que hemos de continuar aplicando el método del símplex
hasta su fin.
Veamos este hecho en un problema concreto:
Supongamos una fábrica dedicada a la obtención de levadura, harina normal y harina
integral obteniendo un beneficio unitario de 5, 4 y 2 u.m. respectivamente. Lafábrica
trabaja 10 horas diarias necesitando la producción, tanto de cada tonelada de levadura como
de cada tonelada de harina normal, 3 horas diarias, mientra que la obtención de una tonelada
de harina integral requiere 4 horas. Por otra parte, el coste de una tonelada de levadura es 12
u.m., mientras que la de harina supone 6 y 7 u.m., respectivamente. ¿Cuál sería la
producción óptima...