Analisis Matematico

Contenido
Apunte de Derivadas.
Estudio de función
Sea y = f(x)
1. Dominio :
2. Paridad :
para f(x) = f(-x) es par
para f(x) = -f(-x) es impar
3. Signo :
para f(x) > 0 es positiva ® positividad = (, )
para f(x) < 0 es negativa ® negatividad = (, )
4. Intersección con eje x : (raíces)
para y = 0
5. Intersección con eje y :
para x = 0
6. Continuidad :
lim f(x) = f(a) es continua ® aes un punto crítico y finito
x ® a
- de salto: L+ ≠ L- finitos
- punto de infinito: L+ = ∞ó L- = ∞
- esencial : L+ ó L- no existe
- evitable :
L =|lim f(x) ≠ f(a) se salva escribiendo y = f(x) para x ≠ a y L para x = a|
|x ® a|
Indeterminaciones:
∞- ∞,0 x ∞,1∞, ∞°
0/0 y ∞/∞(aplicar L´hospital)
7. Asíntotas :
- vertical en x = a:
lim f(x) = ∞ ® a es un valor finito y punto crítico
x ®a
- oblicua en y = m.x + b:
m =|lim|f(x) ® si m = 0 ó ∞ no tiene asíntota oblicua|
|x®¥|x|

b =|lim [f(x) - m.x]|
|x®¥|
- horizontal en y = b:
AH =|lim f(x)|
|x®¥|
si alguno de los límites no existe no existirá esa asíntota.
8. Crecimiento y decrecimiento:
y´ > 0 crece ® crecimiento = (,)
y´ < 0 decrece ® decrecimiento = ( ,)
9. Máximos y mínimos:
y´ = 0 dará valores en x
x1 luegohacer y1 = f(x1) mínimo si cambia de decrecimiento a crecimiento
x2 luego hacer y2 = f(x2) máximo si cambia de crecimiento a decrecimiento
m: (x1;y1)
M: (x2;y2)
Si y´ ≠ 0 Þno cambia el crecimiento, no tiene máx. ni mín.
10. Concavidad:
y" > 0 Þ cóncava hacia arriba = (,)
y" < 0 Þ cóncava hacia abajo = (,)
11. Punto de inflexión :
y" = 0 Þx1 = p Þy1 = f(p) si cambia la concavidad.
P.I.:(x1;y1)
Si y" ≠ 0 Þno cambia la concavidad, no tiene pto. de inflexión.
12. Gráfica :
Recta tangente a una curva
Caso 1:
Sea la curva y = f(x) ÙP (x1;y1) un punto perteneciente a la curva
La recta tangente será: yt = m.x + b
m es la pendiente
b la ordenada al origen
f´(x1) = m
Para generar la ecuación de la recta tangente se puede proceder:
yt = m.(x - x1) + y1
Caso 2:
Sea la curva y= f(x) Ùla recta tangente yt = m.x + b, hallar el punto de tangencia:
f´(x1) = m, despejar x1 y luego hacer y1 =f(x1)
luego:
punto de tangencia P (x1;y1)
Contenido
Apunte de Derivadas: Estudio de funciones derivables.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
LEMA (de monotonía).-
Sea f : I-->R una función. Supongamos que f´(t0)>0 en un punto t0interior. Entonces existe Δ>0 tal que f(s)Rcontinuas en [a,b] y derivables en (a,b). Entonces existe c Î (a,b) tal que
[f(b) - f(a)] g´(c) = [g(b) - g(a)] f´(c).
Teorema del valor medio (o de los incrementos finitos).-
Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c ε (a,b) tal que f(b) - f(a) = (b - a) f´(c).
Consecuencias del t.v.m.-
1.- T. del v.m. sobre monotonía.-
Sea f:[a,b]-->R una funcióncontinua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces
- si f´(t)≥0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona creciente en [a,b].
- si f´(t)≤0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona decreciente en [a,b].
- si f´(t)=0 para todo t ε (a,b) entonces f es constante en [a,b].
2.- Si f y g son funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) tales que f´(x) = g´(x) para todo x Î (a,b), entonces existeun numero real "c" tal que f(x) = g(x) + c para todo x Î [a,b] ; es decir, las dos funciones f y g se diferencian en una constante.
ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCION
Crecimiento y decrecimiento de una función
Definición:
Sea f : [a, b] -->R, x0Î (a, b), se dice que f es creciente en x0si existe un entorno de x0, E (x0, h) tal que
Si x0 - h < x < x0|®|f(x) < f(x0)|
Si x0 < x < x0 + h|®|f(x0) Se dice que f es decreciente si (-f) es creciente.
Proposición 1 (monotonía).-
Sea f : (a, b)-->R una función derivable y x0 Î (a, b) . Entonces :
si f´(x0)>0, f es creciente en x0.
si f´(x0)R una función, x0Î (a,b),f derivable en x0 y creciente (decreciente). Entonces f ´(x0) ≥0 (f´(x0) ≤ 0).
Máximos y mínimos relativos. Condiciones para la determinación de extremos.-
Definición: Sea...

Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.