Ajuste De Curvas

Unidad
Unidad II
Aplicaciones a Modelación Matemática
AJUSTE DE CURVAS
Regresión lineal
Linealización: exponencial, potencias y razones

Conceptos generales
• Problema general:
Se tiene unconjunto discreto de
valores (mediciones) de una
cantidad, se requiere conocer
un valor intermedio entre los
valores discretos.

1
y = f(x)

f4(x)
f3(x)

2
f1(x)

•

•

f2(x)
xOpciones
1. Obtener una curva que
represente la tendencia
general de los datos. Veremos
regresión por mínimos
cuadrados.
2. Una curva que pase por
cada uno de los puntos en
forma directa.Interpolación
(en cursos de Análisis
Numérico).

Estadística
Se tiene un conjunto de datos (n mediciones de una cantidad y
,en función de la variable x)
n

x
x1
x2
x3
...
xn

y
y1
y2y3

Media aritmética
n-1 grados de libertad

y=

Desviación estándar

sy =
yn

∑y
i =1

n
varianza

St
s=
n −1

St
n −1

2
y

n
donde

i

S t = ∑ ( yi − y )
i =1n-1 grados de libertad

2

2.1 Regresión
2.1 Regresión lineal
• Ajuste a una línea recta:
• Nuestro modelo considera que
el comportamiento del sistema
es lineal

y = a0 + a1 x + eIntersección
con eje y
pendiente

¿Cuál es la mejor recta?

Error o residuo:
diferencia entre el modelo
y las observaciones

Ajuste por mínimos cuadrados:
cuadrados:
Minimizar la suma Sr de loscuadrados
de los residuos entre la y medida y la y
calculada con el modelo lineal, para
encontrar a0 y a1

Suma de cuadrados de los residuos entre la y
medida y la y calculada con el modelo linealy

RESIDUO

Medición

ei = yi − a0 − a1 xi

yi
θ

a1= tan θ

yi,modelo=a0+a1xi

a0

xi
n

n

Sr = ∑ ei2 = ∑ ( yi ,medida − yi ,mod elo ) 2 = ∑ ( yi − a0 − a1 xi ) 2
i =1

i=1

n

n

n

0 = ∑ yi − ∑ a0 − ∑ a1 xi
i =1

i =1

i =1

Sx

Sx

Sx2

Sy

Sxy

Sistema de ecuaciones

na0 + S x a1 = S y
S x a0 + S x 2a1 = S xy
Los coeficientes son...