analisis numerico

Introducci´n
o

Bisecci´n
o

Punto fijo

An´lisis Num´rico
a
e
Soluciones de ecuaciones de una variable
CNM-425
Departamento de Matem´ticas
a
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
2010. Reproducci´n permitida bajo los
o
Copyleft
t´rminos de la licencia de documentaci´n libre GNU.
e
o

M´todo de Newton
e

Introducci´n
o

Bisecci´n
oContenido

1

Introducci´n
o

2

M´todo de bisecci´n
e
o

3

Iteraci´n de punto fijo
o

4

M´todo de Newton y otros
e

Punto fijo

M´todo de Newton
e

Introducci´n
o

Bisecci´n
o

Punto fijo

M´todo de Newton
e

Descripci´n
o

Dada una funci´n f , buscamos valores de x que satisfagan
o
f (x) = 0
x es una soluci´n de la ecuaci´n (1) o un cero de f .
o
oEl problema consiste en “encontrar una ra´ o “encontrar un cero”.
ız”
Dependiendo de la naturaleza de la funci´n f podemos tener:
o
Problema lineal
Problema no lineal
Problema unidimensional (una ecuaci´n)
o
Problema multidimensional (un sistema de ecuaciones)

(1)

Introducci´n
o

Bisecci´n
o

Punto fijo

Problema unidimensional

Problema unidimensional (una ecuaci´n)
of :R→R
Una soluci´n del problema es un escalar x tal que f (x) = 0.
o

Ejemplos:
2x − 3y − 6 = 0 posee una soluci´n (problema lineal)
o
ex + 2 = 0 no posee soluci´n (problema no lineal)
o
ex − x2 = 0 posee tres soluciones (problema no lineal)
tan x = 0 posee infinitas soluciones (problema no lineal)

M´todo de Newton
e

Introducci´n
o

Bisecci´n
o

Punto fijo

M´todo deNewton
e

Problema multidimensional
Problema multidimensional: sistema de n ecuaciones acopladas en n
inc´gnitas.
o
f : Rn → Rn
Una soluci´n del problema es un vector x tal que f(x) = 0.
o
Ejemplos:
Problema lineal en tres dimensiones
2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3
Posee soluci´n unica x = [2 3 − 1]T .
o ´
Problema no lineal en dos dimensiones
x2 + y 2 = 25
x2 +y = 19
Posee cuatro soluciones.

Introducci´n
o

Bisecci´n
o

Punto fijo

M´todo de Newton
e

Teor´
ıa

Para el problema lineal hay teoremas que garantizan la existencia y
unicidad de soluciones.

El problema no lineal es m´s complicado.
a

Para el caso unidimensional f (x) = 0 con
f : [a, b] → R continua

y

f (a) · f (b) < 0

el teorema del valor intermediogarantiza la existencia de un x∗ ∈ [a, b]
tal que f (x∗ ) = 0.

Para el caso multidimensional no hay un resultado an´logo sencillo.
a

Introducci´n
o

Bisecci´n
o

Punto fijo

M´todo de Newton
e

M´todo de bisecci´n
e
o
El m´todo aproxima una soluci´n num´rica de f (x) = 0 con
e
o
e
f : [a, b] → R continua y
f (a) · f (b) < 0

(2)

Supondremos que s´lo existe un p ∈ [a, b]tal que f (p) = 0 y adem´s
o
a
que f (a) = 0 y f (b) = 0.
y

1

2

a2

p2

b2

a3 p3 b3

b = b1

x

Si f (p1 ) = 0, entonces p = p1 .

3

a = a1 p2 p3 p1

Hacemos a1 = a, b1 = b y
p1 = a1 +b1 = a1 + b1 −a1 .
2
2

Si f (p1 ) = 0, entonces
f (p1 ) · f (a1 ) < 0 ´ f (p1 ) · f (b1 ) < 0.
o

4

Si f (p1 ) · f (a1 ) < 0, entonces por (2)
p ∈ [a1 , p1 ].

5Hacemos a2 = a1 y b2 = p1 y se
repite el proceso a partir de (1).

Introducci´n
o

Bisecci´n
o

Pseudoc´digo
o
inicio leer a, b, tol y M;
% a y b: extremos del intervalo
% tol: tolerancia
% M: es el n´mero m´ximo de iteraciones
u
a

Punto fijo

M´todo de Newton
e

biseccion.m

function y = biseccion(f,a,b,tol,M)
% Ejemplo:
% f = inline("x∧3 + 4*x∧2 - 10")
%biseccion(f,1,2,0.00001,100)

i = 1;
f a = f (a);

i = 1;
fa = f(a);

mientras i ≤ M hacer

while i0
a = p;
else
b = p;
end
end

fin mientras
Escribir "Proceso terminado sin exito"
´
fin

if i>M
error("Proceso terminado sin exito \n");
´
end
end

Introducci´n
o

Bisecci´n
o

Punto fijo

M´todo de Newton
e

Criterios de parada
El procedimiento anterior genera una...