Analisis numèrico

SISTEMAS NUMERICOS Y ERRORES

1. Introducción a la Computación Numérica El primer computador electrónico en base a la tecnología de tubos al vacío fue el ENIAC de la Universidad de Pensilvania, en la década del 40. Durante la década del 50, el primer uso de los computadores fue para las aplicaciones científicas. En la década del 60, el uso de los computadores se amplió a los negocios, y elpropósito más extendido fue el tratamiento de todo tipo de información. En las tres últimas décadas (70 a 90) continuó extendiéndose hacia las medianas empresas en los 70; y hacia varios millones de pequeñas empresas y personas en la llamada revolución de las PC, en los 80 y 90. La mayor parte de esos usuarios del computador no consideran de primer interés a la computación como medio de cálculo connúmeros. En realidad lo que más se utiliza es el procesamiento de la información en otros campos como los negocios y la administración. Sin embargo, en muchas disciplinas científicas, el cálculo con números permanece como el uso más importante de los computadores. Ejemplos: Físicos: resolución de complicadas ecuaciones en modelos tales como la estructura del universo o del átomo. Médicos: que usan loscomputadores para diseñar mejores técnicas. Meteorólogos: usan la computación numérica para resolver ecuaciones en modelos que pronostican el clima. Ingenieros Aeronáuticos: Diseño de cohetes espaciales. En la Ciencia de la Computación, la computación numérica tiene mayor importancia por los requerimientos de algoritmos confiables y rápidos para computación gráfica, robótica, etc.

2. NúmerosReales Una clasificación de los números reales es: R = Q ∪ I ; y a su vez Q = Z ∪ F, donde: R reales, Q racionales, I irracionales, Z enteros, F fraccionarios. Los números reales que no pueden representarse como enteros o fracciones, se llaman irracionales. Ejemplo: - Π se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. - e se define como el límite de (1+1/n) cuando n→∞,un límite de una sucesión de números racionales {2;9/4;64/27...} Propiedad: El conjunto de números irracionales no es numerable. Una ordenación de los elementos de un conjunto en una sucesión análoga a la de los naturales se llama una enumeración del conjunto, que así resulta con la propiedad de ser numerable. El conjunto Q es numerable. Consecuencia: No hay manera de listar a todos los númerosirracionales.

A. A. Olmos - CÁLCULO NUMÉRICO - Sistemas Numéricos y Errores Unidad 1 – 2004 - 1

2.1 Sistemas de representación de números reales Históricamente los Romanos usaban distintos símbolos para representar las potencias de 10: X, C, M, etc., lo que es engorroso para grandes números. El uso del cero como símbolo fue usado en la India y luego introducido en Europa por medio de losArabes, hace aproximadamente 1000 años. El único sistema que usaba el cero (sin influencia de los Indios) fue el de los Mayas. Este sistema posicional tenía como base 20. Nuestro sistema actual se llama decimal o de base 10, pues requiere 10 símbolos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. El sistema se llama posicional, pues el significado del número depende de la posición de los símbolos. Los Babilonios usaban elsistema de base 60, cuyas influencias llegan a nuestro tiempo con el sistema de medición del tiempo (1 hora = 60 min.; 1 min.= 60 seg.). El sistema de base igual a 2, que no es tan natural para los humanos, es el más conveniente para los computadores. Todo número n esta formado por una sucesión (cadena o string) de ceros y unos. Todo número real posee una representación decimal y otra binaria;representación en toda base B(n, tal que n >1. Propiedad: La representación de la base B, en base B, es siempre “10” (uno, cero). Ej. : 2(2 = 10(2 ; 10(10 = 10(10 y por lo tanto, una

2.2 Conversiones entre representaciones de sistemas más usuales • Caso de números enteros: x (10 = 61(10 = 6*101 + 1*100 Nota: La mayor potencia de 10 en el segundo miembro es igual al número de cifras del número...